期望值（EV）是所有可能结果的概率加权平均值。它告诉您，如果多次重复同一事件，您平均应该期望得到什么。
公式
E(X) = Σ (probability × value)
对所有（概率 × 结果）对进行求和。
简单示例：抛硬币投注
公平的抛硬币：
- 正面：赢得 10 英镑
- 尾巴：损失 8 英镑
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1
解释： 平均而言，每次翻转您可赢得 1 英镑。这是值得反复进行的积极电动汽车押注。
示例：保险
您应该购买 200 英镑/年的电话保险吗？
认为：
- 手机损坏的可能性为 5%（维修费用：400 英镑）
- 95% 的几率没有损坏
不含保险的预期费用：
E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20
保险费用：200英镑
预计损失为 20 英镑，保险费用为 200 英镑 — 您需要支付 10× 预期费用。从数学上讲，保险是一个负面的电动汽车决策。然而，如果您无法承受 400 英镑的损失，风险降低可能是值得的。
赌博：赌场优势
欧洲轮盘赌（37 个数字，0–36）。您对单个号码下注 1 英镑：
- 获胜：37 场中有 1 次机会，赔付 = £36（35:1 + 您的本金）
- 失去：37次机会中的36次
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027
预期损失 = 每 1 英镑下注 0.027 英镑 = 2.7% 赌场优势。
超过 1,000 次旋转，每次 1 英镑：
Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27
业务决策
一家公司正在决定是否推出一款产品：
| 结果 | 可能性 | 损益 |
|---|---|---|
| 巨大的成功 | 20% | +500,000英镑 |
| 中等成功 | 40% | +100,000英镑 |
| 收支平衡 | 25% | 0 英镑 |
| 失败 | 15% | −200,000英镑 |
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000
正 EV → 继续该项目。
期望值的局限性
- 方差很重要： 赢得 200 英镑的概率为 50%，而某个 100 英镑的 EV 相同，但风险状况却截然不同
- 单次事件： EV 仅保证多次重复的平均结果
- 效用与金钱： 人们对金钱的评价是非线性的（风险厌恶）。损失 1,000 英镑带来的伤害比获得 1,000 英镑带来的帮助更大。
扑克中的 EV
职业扑克涉及计算底池赔率和每个决定的期望值。如果赌注的 EV 为正，则无论短期结果如何，都应该进行该赌注。
EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)