GCD وLCM هما مفاهيم نظرية الأعداد الأساسية المستخدمة في تبسيط الكسور وحل المعادلات ومسائل الجدولة. هنا يتم شرح كل طريقة بشكل واضح.
التعاريف
GCD (القاسم المشترك الأكبر) — يُسمى أيضًا GCF (العامل المشترك الأكبر) أو HCF (العامل المشترك الأعلى) — هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم كلا الرقمين بدون باقي.
** LCM (المضاعف المشترك الأصغر) ** هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على كلا الرقمين.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
تعني هذه العلاقة أنه بمجرد العثور على أحدهما، يمكنك حساب الآخر:
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
الطريقة الأولى: التحليل الأولي
الأفضل لـ: فهم الأعداد الأصغر والأرقام المتعددة في وقت واحد.
خطوات GCD:
- قم بتحليل كل رقم إلى عوامل أولية
- أوجد العوامل الأولية المشتركة
- اضرب القوى الدنيا للعوامل المشتركة
خطوات LCM:
- قم بتحليل كل رقم إلى عوامل أولية
- اضرب القوى العليا لجميع العوامل الأولية
مثال: GCD وLCM 36 و48
العامل الأولي:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
GCD: العاملان المشتركان هما 2 و3. خذ أقل القوى:
- GCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: جميع العوامل. الحصول على أعلى الصلاحيات:
- المضاعف المشترك الأصغر = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
تحقق: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✓
الطريقة الثانية: الخوارزمية الإقليدية (GCD)
الأفضل لـ: الأعداد الأكبر — أسرع بكثير من التحليل.
الفكرة الرئيسية: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)، كرر حتى يصبح الباقي 0.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
مثال: GCD(252, 105)
| خطوة | أ | ب | ص = وزارة الدفاع ب |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
GCD = 21 (آخر باقي غير الصفر)
مثال: GCD(1071, 462)
| خطوة | أ | ب | ص |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
جي سي دي = 21
الطريقة الثالثة: طريقة التقسيم/السلم
الأفضل لـ: المتعلمين البصريين، الذين يمكنهم العثور على كل من GCD وLCM في وقت واحد.
قم بتقسيم كلا الرقمين على أصغر عامل أولي مشترك لهما بشكل متكرر:
مثال: GCD وLCM للرقمين 12 و18
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
GCD = حاصل ضرب المقسومات المستخدمة = 2 × 3 = 6 م م م = حاصل ضرب المقسومات × الأعداد المتبقية = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
LCM لأكثر من رقمين
مثال: LCM(4، 6، 10)
العامل الأولي:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
خذ أعلى قوة لكل عدد أولي: 2² × 3 × 5 = 60
تحقق: 60 ÷ 4 = 15 ✓، 60 ÷ 6 = 10 ✓، 60 ÷ 10 = 6 ✓
تطبيقات العالم الحقيقي
تبسيط الكسور: قسّم البسط والمقام على GCD الخاص بهما.
- 24/36: جي سي دي (24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
جمع الكسور ذات المقامات المختلفة: ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.
- 1/4 + 1/6: المضاعف المشترك الأصغر(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
مشاكل في الجدولة: "تغادر حافلتان في نفس الوقت. تعمل إحداهما كل 12 دقيقة، والأخرى كل 18 دقيقة. متى تغادران معًا مرة أخرى؟"
- م م(12، 18) = 36 → كل 36 دقيقة
مواد القطع: "لوح طوله 36 سم، ولوح آخر 48 سم. ما هي أطول قطعة متساوية الطول يمكنك قطعها من كليهما دون إهدار؟"
- جي سي دي (36، 48) = 12 سم
الفحوصات العقلية السريعة
GCD دائمًا ≥ الرقم الأصغر ** LCM هو دائمًا ≥ الرقم الأكبر ** إذا كان GCD(a,b) = 1، فإن الأرقام هي coprime — LCM(a,b) = a × b
مثال: GCD(7, 13) = 1 (كلاهما أوليان، لا توجد عوامل مشتركة) → LCM = 7 × 13 = 91