একটি ঘন সমীকরণ হল ডিগ্রী 3 এর একটি বহুপদী, যার সাধারণ ফর্ম ax³ + bx² + cx + d = 0। দ্বিঘাত সমীকরণের বিপরীতে, ঘন সমীকরণের 1, 2, বা 3টি বাস্তব সমাধান থাকতে পারে এবং একটি সাধারণ বদ্ধ-সূত্র নেই যা বেশিরভাগ লোকেরা স্কুলে শেখে। যাইহোক, তারা Cardano এর সূত্র বা সংখ্যাগত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধানযোগ্য।
সাধারণ ফর্ম
ax³ + bx² + cx + d = 0
যেখানে a ≠ 0 (অন্যথায় এটি কিউবিক নয়)। সমীকরণ থাকতে পারে:
- 3টি স্বতন্ত্র প্রকৃত শিকড়
- 1টি আসল মূল এবং 2টি জটিল সংমিশ্রিত শিকড়
- একটি পুনরাবৃত্ত মূল (যখন বৈষম্যকারী শূন্যের সমান)
কার্ডানোর সূত্র
Cardano এর সূত্র ব্যবহার করতে, প্রথমে x = t - b/(3a) প্রতিস্থাপন করে ঘনক (x² শব্দটি নির্মূল করুন) অবনমিত করুন:
t³ + pt + q = 0
তারপরে শিকড়গুলি বৈষম্যকারীকে জড়িত একটি জটিল সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়:
Δ = -4p³ - 27q²
যদি Δ > 0: তিনটি স্বতন্ত্র প্রকৃত মূল যদি Δ = 0: কমপক্ষে দুটি সমান বাস্তব মূল যদি Δ < 0: একটি বাস্তব মূল এবং দুটি জটিল সংযোজিত মূল
কাজের উদাহরণ
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 সমাধান করুন
পরিদর্শন বা ট্রায়াল দ্বারা, আমরা ছোট পূর্ণসংখ্যা পরীক্ষা করতে পারি। পরীক্ষা x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
সুতরাং x = 1 একটি মূল। ফ্যাক্টরিং আউট (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
তিনটি মূল হল x = 1, 2, 3।
ফ্যাক্টরিং ছাড়াই শিকড় খোঁজা
ঘন সমীকরণের জন্য যা সুন্দরভাবে ফ্যাক্টর করে না, ব্যবহার করুন:
- কার্ডানোর সূত্র (বীজগণিতভাবে সঠিক কিন্তু জটিল)
- নিউটন-র্যাফসন এর মত সংখ্যাসূচক পদ্ধতি (পুনরাবৃত্ত, একবারে একটি মূল খুঁজে বের করে)
- নিউটন-র্যাফসন দিয়ে শিকড় অনুমান এবং পরিমার্জিত করার জন্য গ্রাফিং
আবেদন
ঘন সমীকরণ এতে উপস্থিত হয়:
- ইঞ্জিনিয়ারিং (স্ট্রেস-স্ট্রেন বিশ্লেষণ, তরল গতিবিদ্যা)
- পদার্থবিদ্যা (প্রতিরোধের মাধ্যমে প্রজেক্টাইল গতি, ঘন পদার্থ)
- অর্থনীতি (অপ্টিমাইজেশান সমস্যা, উৎপাদন খরচ বক্ররেখা)
- কম্পিউটার গ্রাফিক্স (কিউবিক বেজিয়ার কার্ভ)
টিপস
আপনি যদি যুক্তিযুক্ত মূল সন্দেহ করেন, তাহলে মূলদ মূল উপপাদ্য ব্যবহার করুন: যেকোনো মূলদ মূল p/q এর p বিভাজক d এবং q বিভাজক a আছে। এটি আপনার পরীক্ষার প্রার্থীদের উল্লেখযোগ্যভাবে সংকীর্ণ করে। সর্বদা প্রতিস্থাপন দ্বারা শিকড় যাচাই করুন.
আমাদের কিউবিক ইকুয়েশন সলভার ব্যবহার করে তাৎক্ষণিকভাবে সমস্ত রুট খুঁজে বের করুন, তা বাস্তব হোক বা জটিল।