পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য হল সমস্ত গণিতের সবচেয়ে বিখ্যাত ফলাফলগুলির মধ্যে একটি — এক লাইনে বলা যথেষ্ট সহজ, 370 টিরও বেশি পরিচিত প্রমাণের জন্য যথেষ্ট গভীর। সূত্র থেকে শুরু করে ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশন পর্যন্ত আপনার যা জানা দরকার তা এখানে রয়েছে।
সূত্র
যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের জন্য (একটি 90° কোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ):
a^2 + b^2 = c^2
যেখানে a এবং b দুটি পা (যে বাহুগুলি সমকোণ গঠন করে) এবং c হল কর্ণ (সমকোণের বিপরীত দিক — সর্বদা দীর্ঘতম দিক)।
প্রতিটি দিক খোঁজা
কর্ণ (c):
c = √(a^2 + b^2)
একটি পা খোঁজা (ক):
a = √(c^2 - b^2)
অন্য পা খোঁজা (b):
b = √(c^2 - a^2)
কাজের উদাহরণ
উদাহরণ 1: একটি সমকোণী ত্রিভুজের পা 3 সেমি এবং 4 সেমি। কর্ণ নির্ণয় কর।
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 সেমি
উদাহরণ 2: একটি 10 মিটার দীর্ঘ একটি সিঁড়ি একটি দেয়ালের সাথে হেলেছে, যার ভিত্তি প্রাচীর থেকে 4 মিটার। এটা কত উচ্চে পৌঁছায়?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 মিটার
পাইথাগোরিয়ান ট্রিপল
একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল হল তিনটি পূর্ণ সংখ্যার একটি সেট যা a² + b² = c² পূরণ করে। এগুলি প্রায়শই সমস্যার মধ্যে আসে এবং মনে রাখার মতো:
| ক | খ | গ |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
ট্রিপলের যে কোনো গুণিতকও একটি ট্রিপল: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) সব কাজ করে।
একটি সহজ প্রমাণ
সবচেয়ে মার্জিত প্রমাণ এলাকা ব্যবহার করে. পাশ (a + b) সহ একটি বড় বর্গক্ষেত্র আঁকুন। এর ভিতরে, a এবং b পা দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজের চারটি কপি সাজান।
চারটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রফল 4 × (½ab) = 2ab. বড় বর্গক্ষেত্রে অবশিষ্ট স্থান অবশ্যই c² (কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্র) হতে হবে।
বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (a + b)² = a² + 2ab + b²।
তাই: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
অতএব: a² + b² = c²
বাস্তব-বিশ্বের অ্যাপ্লিকেশন
নির্মাণ এবং কাঠমিস্ত্রি
"3-4-5 নিয়ম" প্রতিদিন নির্মাণ সাইটগুলিতে ব্যবহার করা হয় যাতে চেক করা হয় যে কোণগুলি পুরোপুরি বর্গাকার৷ একটি প্রাচীর বরাবর 3 ইউনিট, সংলগ্ন প্রাচীর বরাবর 4 ইউনিট পরিমাপ করুন, তারপর পরীক্ষা করুন যে তির্যকটি ঠিক 5 একক পরিমাপ করে। যদি তা হয়, কোণটি ঠিক 90°।
নেভিগেশন
জিপিএসের আগে, নেভিগেটররা ক্রমাগত উপপাদ্য ব্যবহার করত। আপনি যদি 30 কিমি পূর্বে যান তবে 40 কিমি উত্তরে, শুরু থেকে আপনার সরলরেখার দূরত্ব √(30² + 40²) = √2500 = 50 কিমি।
আধুনিক জিপিএস সিস্টেমগুলি স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে দূরত্ব গণনা করতে উপপাদ্যের একটি 3D এক্সটেনশন ব্যবহার করে।
স্ক্রিনের আকার
একটি "65-ইঞ্চি টিভি" এর 65 ইঞ্চি একটি তির্যক পর্দা পরিমাপ আছে। আপনি যদি আকৃতির অনুপাত (16:9) জানেন তবে আপনি উপপাদ্যটি ব্যবহার করে সঠিক প্রস্থ এবং উচ্চতা খুঁজে পেতে পারেন। একটি 65" 16:9 স্ক্রিনের জন্য: প্রস্থ ≈ 56.7", উচ্চতা ≈ 31.9"।
প্রকৌশল এবং পদার্থবিদ্যা
উপপাদ্যটি স্ট্রাকচারাল ইঞ্জিনিয়ারিং (লোড বহনকারী তির্যক গণনা করা), কম্পিউটার গ্রাফিক্স (3D দৃশ্য রেন্ডারিং) এবং পদার্থবিদ্যা (ফলাফল ভেক্টর গণনা করা - সমকোণে দুটি শক্তির সম্মিলিত প্রভাব) এর ভিত্তি।
থ্রিডি এক্সটেনশন: দূরত্ব সূত্র
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি স্বাভাবিকভাবে তিনটি মাত্রায় প্রসারিত:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
এটি কম্পিউটার গ্রাফিক্স, পদার্থবিজ্ঞানের সিমুলেশন, জিপিএস গণনা এবং 3D স্থানাঙ্কের সাথে কাজ করা যেকোনো সিস্টেমে ব্যবহৃত হয়।
এখন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য গণনা করুন
অন্য দুটি দেওয়া সমকোণী ত্রিভুজের যেকোনো বাহু খুঁজে পেতে আমাদের বিনামূল্যের ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন। যেকোন দুই দিকে প্রবেশ করুন এবং ধাপে ধাপে কাজ করার সাথে সাথে সাথে সাথে তৃতীয়টি পান।