Kuutioyhtälö on asteen 3 polynomi, jonka yleinen muoto on ax³ + bx² + cx + d = 0. Toisin kuin toisen asteen yhtälöissä, kuutioyhtälöissä voi olla 1, 2 tai 3 reaaliratkaisua, eikä niillä ole yksinkertaista suljetun muodon kaavaa, jonka useimmat ihmiset oppivat koulussa. Ne ovat kuitenkin ratkaistavissa Cardanon kaavalla tai numeerisilla menetelmillä.
Yleinen lomake
ax³ + bx² + cx + d = 0
Missä a ≠ 0 (muuten se ei ole kuutio). Yhtälössä voi olla:
- 3 erillistä todellista juurta
- 1 todellinen juuri ja 2 monimutkaista konjugaattijuurta
- Toistuva juuri (kun erottaja on nolla)
Cardanon kaava
Käyttääksesi Cardanon kaavaa, paina ensin kuutiota (poista x²-termi) korvaamalla x = t - b/(3a):
t³ + pt + q = 0
Sitten juuret löydetään käyttämällä monimutkaista kaavaa, joka sisältää diskriminantin:
Δ = -4p³ - 27q²
Jos Δ > 0: kolme erillistä reaalijuurta Jos Δ = 0: vähintään kaksi yhtä suurta reaalijuurta Jos Δ < 0: yksi todellinen juuri ja kaksi kompleksista konjugaattijuurta
Toiminut esimerkki
Ratkaise x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Tarkastuksen tai kokeilun avulla voimme testata pieniä kokonaislukuja. Testaus x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
Joten x = 1 on juuri. Factoring out (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
Kolme juuria ovat x = 1, 2, 3.
Juurien löytäminen ilman faktoriointia
Kuutioyhtälöille, jotka eivät kerro kauniisti, käytä:
- Cardanon kaava (algebrallisesti tarkka mutta monimutkainen)
- Numeeriset menetelmät, kuten Newton-Raphson (iteratiivinen, löytää juuren kerrallaan)
- Graafointi juurien arvioimiseksi ja tarkentamiseksi Newton-Raphsonilla
Sovellukset
Kuutioyhtälöt esiintyvät:
- Insinööritiede (jännitys-venymäanalyysi, nestedynamiikka)
- Fysiikka (ammuksen liike vastusväliaineessa, kuutiomateriaalit)
- Taloustiede (optimointiongelmat, tuotantokustannuskäyrät)
- Tietokonegrafiikka (kuutio Bézier-käyrät)
Vinkkejä
Jos epäilet rationaalisia juuria, käytä rationaalijuurilausetta: millä tahansa rationaalijuurella p/q on p jakava d ja q jakava a. Tämä kaventaa testausehdokkaitasi merkittävästi. Tarkista aina juuret korvaamalla.
Käytä [Kuutioyhtälön ratkaisijaa] (/en/math/calculus/cubic-equation-solver) löytääksesi kaikki juuret välittömästi, olivatpa ne todellisia tai monimutkaisia.