Pythagoraan lause on yksi tunnetuimmista tuloksista koko matematiikan alalla – riittävän yksinkertainen ilmaistamaan yhdellä rivillä, riittävän syvällinen yli 370 tunnettuun todisteeseen. Tässä on kaikki mitä sinun tulee tietää kaavasta käytännön sovelluksiin.
Kaava
Mikä tahansa suorakulmainen kolmio (kolmio, jossa on yksi 90°:n kulma):
a^2 + b^2 = c^2
Missä a ja b ovat kaksi jalkaa (sivut, jotka muodostavat oikean kulman) ja c on hypotenuusa (oikean kulman vastakkainen puoli – aina pisin sivu).
Jokaisen puolen löytäminen
** Hypotenuusan (c) löytäminen:**
c = √(a^2 + b^2)
Jalan löytäminen (a):
a = √(c^2 - b^2)
Toisen jalan löytäminen (b):
b = √(c^2 - a^2)
Toimivia esimerkkejä
Esimerkki 1: Suorakulmaisen kolmion jalat ovat 3 cm ja 4 cm. Etsi hypotenuusa.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Esimerkki 2: 10 metriä pitkät tikkaat nojaavat seinää vasten ja niiden pohja on 4 metrin päässä seinästä. Kuinka korkealle se nousee?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 metriä
Pythagoraan kolminkertaiset
Pythagoraan kolmoisluku on kolmen kokonaisluvun joukko, jotka täyttävät a² + b² = c². Nämä tulevat usein esiin ongelmissa, ja ne kannattaa muistaa:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Mikä tahansa kolminkertainen on myös kolmiosa: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) kaikki toimivat.
Yksinkertainen todiste
Tyylikkäin todiste käyttää alueita. Piirrä suuri neliö, jonka sivu on (a + b). Järjestä sen sisään neljä kopiota suorakulmaisesta kolmiosta, jossa on jalat a ja b.
Neljä kolmiota ottavat pinta-alan 4 × (½ab) = 2ab. Suuren neliön jäljellä olevan tilan on oltava c² (hypotenuusan neliö).
Suuren neliön pinta-ala (a + b)² = a² + 2ab + b².
Joten: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Siksi: a² + b² = c²
Reaalimaailman sovellukset
Rakennus- ja puusepäntyöt
"3-4-5-sääntöä" käytetään joka päivä rakennustyömailla sen varmistamiseksi, että kulmat ovat täysin neliömäisiä. Mittaa 3 yksikköä yhtä seinää pitkin, 4 yksikköä viereisestä seinästä ja tarkista sitten, että diagonaali on täsmälleen 5 yksikköä. Jos näin on, kulma on täsmälleen 90°.
Navigointi
Ennen GPS:ää navigaattorit käyttivät lausetta jatkuvasti. Jos matkustat 30 km itään ja 40 km pohjoiseen, suora etäisyys lähtöpaikasta on √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Nykyaikaiset GPS-järjestelmät käyttävät lauseen 3D-laajennusta koordinaattien välisten etäisyyksien laskemiseen.
Näyttökoot
"65 tuuman televisiossa" on näytön diagonaali 65 tuumaa. Jos tiedät kuvasuhteen (16:9), voit löytää tarkan leveyden ja korkeuden lauseen avulla. 65" 16:9-näyttö: leveys ≈ 56,7", korkeus ≈ 31,9".
Tekniikka ja fysiikka
Lause on perustavanlaatuinen rakennetekniikassa (kantavien diagonaalien laskeminen), tietokonegrafiikassa (3D-kohtausten renderöinti) ja fysiikassa (resultanttien vektorien laskeminen - kahden suorassa kulmassa olevan voiman yhteisvaikutus).
3D-laajennus: Etäisyyskaava
Pythagoraan lause ulottuu luonnollisesti kolmeen ulottuvuuteen:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Tätä käytetään tietokonegrafiikassa, fysiikan simulaatioissa, GPS-laskelmissa ja kaikissa 3D-koordinaateilla toimivissa järjestelmissä.
Laske Pythagoraan lause nyt
Käytä ilmaista laskintamme löytääksesi mikä tahansa suorakulmaisen kolmion sivu, kun otetaan huomioon kaksi muuta. Syötä mitkä tahansa kaksi puolta ja saat kolmannen välittömästi vaiheittaisen työskentelyn ohella.