Z-pistemäärä mittaa, kuinka monta standardipoikkeamaa arvo on keskiarvosta. Se on tilastollisen päättelyn perusta, jonka avulla voit muuntaa minkä tahansa normaalijakauman standardoiduksi asteikoksi, josta voit löytää todennäköisyydet yleisen normaalitaulukon tai laskimen avulla.
Kaava
z = (x - μ) / σ
Jossa:
- x = arvo, jota olet arvioimassa
- μ (mu) = väestön keskiarvo
- σ (sigma) = väestön keskihajonna
Z-pistemäärä 0 tarkoittaa, että arvo on yhtä suuri kuin keskiarvo. Positiiviset z-pisteet ovat keskiarvon yläpuolella; negatiiviset z-pisteet ovat alla. Suuruus kertoo etäisyyden standardipoikkeamana.
Toiminut esimerkki
Yliopiston pääsykokeen keskiarvo on 500 ja keskihajonta 100. Saat 650. Mikä on z-pisteesi?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Pistemääräsi on 1,5 standardipoikkeamaa keskiarvon yläpuolella. Normaalia normaalitaulukkoa käyttäen P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, mikä tarkoittaa, että noin 93,32 % testin ottajista sai pisteet sinua alapuolellasi.
Z-pistetaulukoiden käyttäminen
Kun olet laskenut z:n, etsit sen todennäköisyyden tavallisesta normaalitaulukosta, joka antaa kumulatiiviset todennäköisyydet P(Z ≤ z). Taulukoista näkyy:
- Yksisuuntaiset todennäköisyydet: P(Z ≤ z) tai P(Z ≥ z)
- Kaksisuuntaiset todennäköisyydet: hyödyllinen luottamusvälissä ja hypoteesitesteissä
Esimerkiksi z = 1,96 vastaa P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Alue molemmissa päissä arvon z = ±1,96 ulkopuolella on 0,05, minkä vuoksi 1,96 on kriittinen arvo 95 %:n luottamusvälille.
Yleiset Z-pisteiden rajat
| Z-pisteet | Kumulatiivinen todennäköisyys | Prosenttipiste |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13 |
| -2 | 0.0228 | 2.28 |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | 50 |
| 1 | 0.8413 | 84.13 |
| 2 | 0.9772 | 97.72 |
| 3 | 0.9987 | 99.87 |
Milloin käyttää
Z-pisteet ovat välttämättömiä:
- Eri jakaumien arvojen vertailu
- Todennäköisyyksien löytäminen normaalijakauman avulla
- Poikkeamien tunnistaminen (yleensä |z| > 3)
- Hypoteesien testaus ja luottamusvälit
- Testitulosten standardointi
Vinkkejä
Z-pisteet toimivat vain normaalisti jakautuneille tiedoille. Jos jakelusi on pahasti vinossa tai siinä on raskaita häntää, z-pisteet ovat harhaanjohtavia. Muista myös ero z:n (populaatioparametri) ja t:n (otostilasto) välillä – käytä z:tä, kun σ tunnetaan, ja t:tä, kun arvioit sen otoksesta.
Käytä [Z-pistelaskuriamme] (/en/math/hypothesis-testing/z-score-probability-calc) muuntaaksesi pisteet z-pisteiksi ja löytääksesi todennäköisyydet välittömästi.