Les cercles apparaissent partout — roues, tuyaux, pièces circulaires, pizza, planètes. Deux mesures définissent complètement chaque cercle : la circonférence (la distance autour du bord) et l'aire (l'espace intérieur). Toutes deux découlent directement d'une seule valeur : le rayon.

Termes clés

Rayon (r) : La distance du centre du cercle à n'importe quel point sur son bord. C'est la mesure fondamentale — toutes les formules du cercle l'utilisent.

Diamètre (d) : La distance à travers le cercle en passant par le centre. Toujours exactement le double du rayon : d = 2r.

Circonférence (C) : Le périmètre du cercle — la distance totale autour du bord extérieur.

Aire (A) : La quantité d'espace bidimensionnel enfermé par le cercle.

π (pi) : Le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. C'est un nombre irrationnel (infini, non périodique) approximativement égal à 3,14159265...

Formule de la circonférence

C = 2πr    ou de manière équivalente    C = πd

Exemple : Un cercle de rayon 5 cm

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31,42 cm

En termes de diamètre : Si le diamètre est donné directement :

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31,42 cm

Les deux donnent le même résultat — choisissez la mesure dont vous disposez.

Formule de l'aire

A = πr²

Exemple : Même cercle de rayon 5 cm

A = π × 5² = 25π ≈ 78,54 cm²

Note : l'aire est toujours en unités carrées (cm², m², in²). La circonférence est en unités linéaires (cm, m, in).

Calcul inverse à partir de la circonférence ou de l'aire

Parfois vous connaissez la circonférence ou l'aire et devez trouver le rayon.

Rayon depuis la circonférence :

r = C / (2π)

Rayon depuis l'aire :

r = √(A / π)

Diamètre depuis la circonférence :

d = C / π

Exemple : Un champ circulaire a une circonférence de 150 m. Quelle est son aire ?

Étape 1 : Trouver le rayon

r = 150 / (2π) = 150 / 6,2832 = 23,87 m

Étape 2 : Trouver l'aire

A = π × 23,87² = π × 569,8 ≈ 1 790 m²

Exemples pratiques courants

Section transversale d'un tuyau circulaire

Un tuyau a un diamètre intérieur de 40 mm. Quelle est son aire en coupe transversale ?

r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1 257 mm²

Piste de course

Une piste de course circulaire a un rayon de 40 m. Quelle est la distance d'un tour ?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251,3 m

Comparaison de taille de pizza

Une pizza de 14 pouces vaut-elle plus que deux pizzas de 10 pouces ?

Pizza de 14 pouces :

A = π × 7² = 49π ≈ 153,9 in²

Deux pizzas de 10 pouces :

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157,1 in²

Deux pizzas de 10 pouces donnent légèrement plus de pizza — mais seulement si le prix est comparable.

Secteurs et arcs

Un secteur est une « tranche » de cercle (comme un morceau de tarte), défini par un angle au centre θ.

Longueur d'arc (le bord courbe du secteur) :

Arc = (θ / 360) × 2πr    [degrés]
Arc = θr                   [radians]

Aire du secteur :

Aire du secteur = (θ / 360) × πr²    [degrés]
Aire du secteur = ½r²θ               [radians]

Exemple : Secteur de rayon 8 cm et d'angle au centre 45°

Longueur d'arc = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6,28 cm
Aire du secteur = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25,13 cm²

Couronne circulaire (forme d'anneau)

Une couronne circulaire est la région entre deux cercles concentriques de rayons R (extérieur) et r (intérieur).

Aire de la couronne = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

Exemple : Un bord circulaire de rayon extérieur 10 m et de rayon intérieur 7 m :

Aire = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160,2 m²

Résumé des formules

Mesure Formule
Circonférence C = 2πr = πd
Aire A = πr²
Rayon depuis C r = C / (2π)
Rayon depuis A r = √(A/π)
Longueur d'arc (degrés) Arc = (θ/360) × 2πr
Aire du secteur (degrés) A = (θ/360) × πr²
Aire de la couronne A = π(R² − r²)

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