Le théorème de Pythagore est l’un des résultats les plus célèbres de toutes les mathématiques : assez simple à énoncer en une seule ligne, suffisamment profond pour avoir plus de 370 preuves connues. Voici tout ce que vous devez savoir, de la formule aux applications pratiques.
La formule
Pour tout triangle rectangle (un triangle avec un angle de 90°) :
a^2 + b^2 = c^2
Où a et b sont les deux jambes (les côtés qui forment l'angle droit) et c est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit – toujours le côté le plus long).
Trouver chaque côté
Trouver l'hypoténuse (c) :
c = √(a^2 + b^2)
Trouver une jambe (a) :
a = √(c^2 - b^2)
Trouver l'autre jambe (b) :
b = √(c^2 - a^2)
Exemples travaillés
Exemple 1 : Un triangle rectangle a des pattes de 3 cm et 4 cm. Trouvez l'hypoténuse.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Exemple 2 : Une échelle de 10 mètres de long s'appuie contre un mur, avec sa base à 4 mètres du mur. Jusqu’où atteint-il ?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 mètres
Triples de Pythagore
Un triplet de Pythagore est un ensemble de trois nombres entiers qui satisfont a² + b² = c². Ceux-ci reviennent souvent dans les problèmes et méritent d’être mémorisés :
| un | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Tout multiple d'un triple est aussi un triple : (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) fonctionnent tous.
Une preuve simple
La preuve la plus élégante utilise les zones. Dessinez un grand carré de côté (a + b). À l'intérieur, disposez quatre copies du triangle rectangle avec les pattes a et b.
Les quatre triangles occupent une aire 4 × (½ab) = 2ab. L'espace restant dans le grand carré doit être c² (le carré de l'hypoténuse).
Le grand carré a pour aire (a + b)² = a² + 2ab + b².
Donc : a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Donc : a² + b² = c²
Applications du monde réel
Construction et Menuiserie
La « règle 3-4-5 » est utilisée quotidiennement sur les chantiers pour vérifier que les coins sont parfaitement d’équerre. Mesurez 3 unités le long d'un mur, 4 unités le long du mur adjacent, puis vérifiez que la diagonale mesure exactement 5 unités. Si c’est le cas, l’angle est exactement de 90°.
Navigation
Avant le GPS, les navigateurs utilisaient constamment le théorème. Si vous parcourez 30 km à l'est puis 40 km au nord, votre distance en ligne droite depuis le départ est √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Les systèmes GPS modernes utilisent une extension 3D du théorème pour calculer les distances entre les coordonnées.
Tailles d'écran
Un « téléviseur de 65 pouces » a une diagonale d’écran de 65 pouces. Si vous connaissez le rapport hauteur/largeur (16:9), vous pouvez trouver la largeur et la hauteur exactes à l'aide du théorème. Pour un écran 65" 16:9 : largeur ≈ 56,7", hauteur ≈ 31,9".
Ingénierie et physique
Le théorème est fondamental en ingénierie structurelle (calcul des diagonales porteuses), en infographie (rendu de scènes 3D) et en physique (calcul des vecteurs résultants - l'effet combiné de deux forces à angle droit).
L'extension 3D : formule de distance
Le théorème de Pythagore s’étend naturellement à trois dimensions :
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Ceci est utilisé dans l'infographie, les simulations physiques, les calculs GPS et tout système fonctionnant avec des coordonnées 3D.
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