Une équation cubique est un polynôme de degré 3, de forme générale ax³ + bx² + cx + d = 0. Contrairement aux équations quadratiques, les équations cubiques peuvent avoir 1, 2 ou 3 solutions réelles et n'ont pas de formule simple fermée que la plupart des gens apprennent à l'école. Cependant, ils peuvent être résolus à l'aide de la formule de Cardano ou de méthodes numériques.

Le formulaire général

ax³ + bx² + cx + d = 0

Où a ≠ 0 (sinon ce n'est pas cubique). L'équation peut avoir :

  • 3 vraies racines distinctes
  • 1 racine réelle et 2 racines complexes conjuguées
  • Une racine répétée (lorsque le discriminant est égal à zéro)

La formule de Cardano

Pour utiliser la formule de Cardano, abaissez d'abord le cubique (éliminez le terme x²) en substituant x = t - b/(3a) :

t³ + pt + q = 0

Ensuite, les racines sont trouvées à l'aide d'une formule complexe impliquant le discriminant :

Δ = -4p³ - 27q²

Si Δ > 0 : trois racines réelles distinctes Si Δ = 0 : au moins deux racines réelles égales Si Δ < 0 : une racine réelle et deux racines complexes conjuguées

Exemple travaillé

Résoudre x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Par inspection ou essai, nous pouvons tester de petits entiers. Test x = 1 :

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Donc x = 1 est une racine. Factorisation (x - 1) :

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Les trois racines sont x = 1, 2, 3.

Trouver des racines sans factorisation

Pour les équations cubiques qui ne sont pas bien prises en compte, utilisez :

  1. La formule de Cardano (algébriquement exacte mais compliquée)
  2. Méthodes numériques comme Newton-Raphson (itérative, trouve une racine à la fois)
  3. Graphique pour estimer les racines et affiner avec Newton-Raphson

## Candidatures

Les équations cubiques apparaissent dans :

  • Ingénierie (analyse contrainte-déformation, dynamique des fluides)
  • Physique (mouvement de projectile en milieu résistant, matériaux cubiques)
  • Economie (problèmes d'optimisation, courbes de coûts de production)
  • Infographie (courbes cubiques de Bézier)

Conseils

Si vous soupçonnez des racines rationnelles, utilisez le théorème des racines rationnelles : toute racine rationnelle p/q a p divisant d et q divisant a. Cela réduit considérablement vos candidats aux tests. Vérifiez toujours les racines par substitution.

Utilisez notre Cubic Equation Solver pour trouver instantanément toutes les racines, qu'elles soient réelles ou complexes.