La demi-vie est le temps nécessaire à la moitié d'une substance pour se décomposer ou se transformer. Il apparaît en physique nucléaire, en pharmacologie, en chimie et en archéologie, partout où quelque chose diminue de façon exponentielle.
La formule Half-Life
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Ou de manière équivalente :
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Où:
- N(t) = quantité restante au temps t
- N₀ = quantité initiale
- t½ = période de demi-vie
- λ = constante de désintégration = ln(2) ÷ t½ ≈ 0,693 ÷ t½
- e = nombre d'Euler (2,718...)
Calcul de base de la demi-vie
Combien reste-t-il après n demi-vies ?
Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
| Demi-vies écoulées | Fraction restante | Pourcentage |
|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 7 | 1/128 | 0.78% |
| 10 | 1/1024 | 0.098% |
Exemple : 200 g d'une substance ayant une demi-vie de 10 jours, après 30 jours :
- Nombre de demi-vies = 30 ÷ 10 = 3
- Restant = 200 × (½)³ = 200 × 0,125 = 25 g
Trouver le montant restant à tout moment
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Exemple : 500 mg de substance, demi-vie = 8 heures. Combien reste-t-il après 20 heures ?
- N(20) = 500 × (½)^(20/8)
- N(20) = 500 × (0,5)^2,5
- N(20) = 500 × 0,1768 = 88,4 mg
Recherche du temps écoulé à partir du montant restant
t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)
Ou : t = t½ × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)
Exemple : Commencez avec 1 000 g, demi-vie = 5 ans. Quand reste-t-il 62,5 g ?
- 62,5/1 000 = 0,0625 = (½)^n → n = 4 demi-vies
- t = 4 × 5 = 20 ans
La constante de désintégration
λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½
La constante de désintégration λ est la probabilité par unité de temps qu'un noyau se désintègre. Il est utilisé dans la formule de désintégration exponentielle :
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Exemple : Demi-vie = 20 minutes :
- λ = 0,693 ÷ 20 = 0,03466 par minute
- Après 60 minutes : N = N₀ × e^(−0,03466 × 60) = N₀ × e^(−2,079) = N₀ × 0,125
Cela confirme : 60 minutes = 3 demi-vies → 12,5% restant ✓
Demi-vies des isotopes radioactifs
| Isotope | Demi-vie | Utiliser |
|---|---|---|
| Carbone-14 | 5 730 ans | Datation au radiocarbone |
| Uranium-238 | 4,47 milliards d'années | Datation de l'âge géologique |
| Iode-131 | 8,02 jours | Traitement du cancer de la thyroïde |
| Technétium-99m | 6h01 heures | Imagerie médicale |
| Polonium-210 | 138,4 jours | — |
| Strontium-90 | 28,8 ans | Préoccupation liée aux retombées nucléaires |
Datation au carbone : application pratique
Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans et se retrouve dans tous les organismes vivants. Lorsqu’un organisme meurt, il cesse d’absorber le nouveau C-14, de sorte que le rapport entre le C-14 et le C-12 diminue de manière prévisible.
Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)
Exemple : Il reste 25 % de son C-14 d'origine dans un échantillon :
- 25% = (½)^n → n = 2 demi-vies
- Âge = 2 × 5 730 = 11 460 ans
La datation au carbone est fiable pour des échantillons jusqu'à environ 50 000 ans (environ 8 à 9 demi-vies, après quoi il reste si peu de C-14 que la mesure devient peu fiable).
Demi-vie en pharmacologie
La demi-vie du médicament détermine la fréquence d’administration. Après 4 à 5 demi-vies, environ 94 à 97 % d'un médicament a été éliminé :
| Médicament | Demi-vie | Fréquence de dosage |
|---|---|---|
| Ibuprofène | 2 heures | Toutes les 4 à 6 heures |
| Aspirine | 15 à 20 minutes* | Quotidiennement pour les antiplaquettaires |
| Caféine | 5 à 6 heures | Effets ~8 à 10 heures |
| Diazépam (Valium) | 20 à 100 heures | Une fois par jour ou moins |
*Les effets de l'aspirine sur les plaquettes durent beaucoup plus longtemps que sa propre demi-vie en raison de sa liaison irréversible.
Utilisez notre calculateur d'exposant pour calculer rapidement (½)^n pour n'importe quel nombre de demi-vies.