Une équation quadratique a la forme ax² + bx + c = 0. Il existe quatre méthodes pour les résoudre : savoir laquelle utiliser et quand rend l'algèbre beaucoup plus rapide.
Formulaire standard
Chaque équation quadratique peut s’écrire sous la forme :
ax² + bx + c = 0
Où a ≠ 0 (si a = 0, c'est une équation linéaire).
Exemples :
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Méthode 1 : Factorisation
Fonctionne mieux lorsque l’équation se divise proprement en nombres entiers. Méthode la plus rapide, le cas échéant.
Mesures:
- Écrivez sous forme standard
- Trouvez deux nombres qui se multiplient par (a × c) et additionnés à b
- Divisez le moyen terme et factorisez par regroupement
- Réglez chaque facteur égal à zéro
Exemple : x² − 5x + 6 = 0
- Besoin de deux nombres : multiplier par 6, ajouter à −5 → −2 et −3
- Facteur : (x − 2)(x − 3) = 0
- Solutions : x = 2 ou x = 3
Exemple : 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, nécessite des facteurs s'ajoutant à 5 → 2 et 3
- Réécriture : 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Facteur : 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Facteur : (2x + 3)(x + 1) = 0
- Solutions : x = −3/2 ou x = −1
Quand l'utiliser : Lorsque vous pouvez repérer rapidement les facteurs. Si vous ne trouvez pas de facteurs en 30 secondes, changez de méthode.
Méthode 2 : La formule quadratique
Fonctionne pour chaque équation quadratique. Utilisez-le lorsque la factorisation n’est pas évidente.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Exemple : 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Discriminant : b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5 -x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 ou x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Le discriminant : combien de solutions ?
L'expression b² − 4ac vous indique la nature des solutions avant de résoudre :
| Discriminant | Nombre de solutions | Taper |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Deux vraies solutions distinctes | Chiffres réels |
| b² − 4ac = 0 | Une solution répétée | Des racines réelles et égales |
| b² − 4ac < 0 | Pas de vraies solutions | Deux racines complexes/imaginaires |
Exemple : x² + 2x + 5 = 0
- Discriminant = 4 − 20 = −16 → pas de vraies solutions
- Solutions complexes : x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Méthode 3 : Compléter le carré
Transforme l'équation sous la forme (x + p)² = q. Essentiel pour comprendre la forme des sommets et dériver la formule quadratique.
Mesures:
- Déplacer la constante vers la droite
- Diviser par a (si a ≠ 1)
- Ajoutez (b/2a)² des deux côtés
- Considérez le côté gauche comme un carré parfait
- Prenez la racine carrée des deux côtés
Exemple : x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Ajoutez (6/2)² = 9 des deux côtés : x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 ou x = −5
Méthode 4 : représentation graphique
Les solutions (racines) sont les abscisses à l'origine de la parabole y = ax² + bx + c.
- Deux abscisses à l'origine → deux vraies solutions
- Une ordonnée à l'origine (sommet sur l'axe des x) → une solution répétée
- Pas d'abscisse à l'origine → pas de vraies solutions (racines complexes)
Quand l'utiliser : Pour une compréhension visuelle ou lors de l'utilisation d'une calculatrice graphique. Pas pratique pour des réponses exactes.
Choisir la bonne méthode
| Situation | Meilleure méthode |
|---|---|
| Coefficients entiers, semble factorisable | Factoriser d’abord |
| N'importe quel quadratique, nécessite une réponse exacte | Formule quadratique |
| Comprendre le sommet/minimum/maximum | Compléter le carré |
| Compréhension visuelle ou approximation | Graphique |
| b² − 4ac < 0 | Formule quadratique (donne des racines complexes) |
Référence rapide : modèles courants
Différence des carrés : x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Trinôme carré parfait : x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (répété)
Pas de moyen terme : ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (réel seulement si c et a ont des signes opposés)
Somme et produit des racines
Pour ax² + bx + c = 0 de racines r₁ et r₂ :
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Exemple de vérification : x² − 5x + 6 = 0, racines 2 et 3 :
- Somme : 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Produit : 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Utilisez notre solveur d'équations cubiques pour les équations de degré 3 ou appliquez la formule quadratique ci-dessus pour n'importe quelle quadratique standard.