La distribution normale (ou distribution gaussienne) est la distribution de probabilité la plus importante en statistique. Il décrit la répartition de nombreux phénomènes naturels – résultats aux tests, hauteurs, erreurs de mesure, rendements boursiers – et constitue le fondement de la plupart des inférences statistiques et des tests d’hypothèses.
La formule
La fonction de densité de probabilité pour une distribution normale est :
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
Où:
- μ (mu) = moyenne (centre de la distribution)
- σ (sigma) = écart type (étalement de la distribution)
- x = la valeur que vous évaluez
- e ≈ 2,71828
- π ≈ 3,14159
La forme est courbée en cloche et environ 68 % des valeurs se situent à moins d'un écart type de la moyenne, 95 % à moins de deux écarts types et 99,7 % à moins de trois écarts types (la règle 68-95-99,7).
Exemple travaillé
Un test standardisé a une moyenne de 100 et un écart type de 15. Quelle est la probabilité qu'un score aléatoire soit inférieur à 115 ?
Tout d’abord, convertissez-le en z-score :
z = (115 - 100) / 15 = 1.0
Un score z de 1,0 signifie que 115 est un écart type au-dessus de la moyenne. À l'aide d'un tableau normal standard ou d'une calculatrice, P(z ≤ 1,0) ≈ 0,8413 ou 84,13 %.
Ainsi, environ 84 % des candidats obtiennent un score inférieur à 115.
Propriétés clés
La distribution normale est entièrement définie par sa moyenne et son écart type. Le déplacement de la moyenne déplace la courbe vers la gauche ou la droite ; l’augmentation de l’écart type l’aplatit et l’élargit. L'aire totale sous la courbe est toujours égale à 1.
Toute distribution normale peut être convertie en distribution normale standard (moyenne 0, écart type 1) à l'aide de la formule du score z ci-dessus. Cette standardisation vous permet d'utiliser une table normale universelle.
Quand l'utiliser
Utilisez la distribution normale lorsque :
- Les données se regroupent autour d'une valeur centrale
- Les valeurs suivent un histogramme en forme de cloche
- Le théorème central limite s'applique (exemple de moyenne de n'importe quelle distribution approximative de la normale)
- Vous effectuez des tests d'hypothèses ou des intervalles de confiance
La plupart des données continues du monde réel suivent à peu près une distribution normale, ce qui en fait le cheval de bataille des statistiques appliquées.
Conseils
Vérifiez la normalité à l’aide d’un histogramme ou d’un tracé Q-Q avant de supposer que les données sont normales. Si les données sont fortement asymétriques ou comportent des valeurs aberrantes, la distribution normale peut ne pas être appropriée. Pour les données non normales, utilisez des tests non paramétriques ou une transformation de données.
Utilisez notre Calculateur de distribution normale pour trouver instantanément les probabilités, les percentiles et les scores z.