Un score z mesure le nombre d’écarts types d’une valeur par rapport à la moyenne. C'est le fondement de l'inférence statistique, vous permettant de convertir n'importe quelle distribution normale en une échelle standardisée où vous pouvez trouver des probabilités à l'aide d'une table normale universelle ou d'une calculatrice.
La formule
z = (x - μ) / σ
Où:
- x = la valeur que vous évaluez
- μ (mu) = moyenne de la population
- σ (sigma) = écart type de la population
Un score z de 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne. Les scores z positifs sont supérieurs à la moyenne ; les scores z négatifs sont ci-dessous. La magnitude vous indique la distance en écarts types.
Exemple travaillé
Un examen d'entrée à l'université a une moyenne de 500 et un écart type de 100. Vous obtenez un score de 650. Quel est votre score z ?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Votre score est de 1,5 écart-type au-dessus de la moyenne. En utilisant le tableau normal standard, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, ce qui signifie qu'environ 93,32 % des candidats ont obtenu des résultats inférieurs à vous.
Utilisation des tableaux Z-Score
Après avoir calculé z, vous recherchez sa probabilité dans un tableau normal standard, qui donne les probabilités cumulées P(Z ≤ z). Les tableaux montrent :
- Probabilités unilatérales : P(Z ≤ z) ou P(Z ≥ z)
- Probabilités bilatérales : utiles pour les intervalles de confiance et les tests d'hypothèses
Par exemple, z = 1,96 correspond à P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. L'aire des deux queues au-delà de z = ±1,96 est de 0,05, c'est pourquoi 1,96 est la valeur critique pour les intervalles de confiance de 95 %.
Seuils courants du score Z
| Score Z | Probabilité cumulée | Centile |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0,13ème |
| -2 | 0.0228 | 2.28ème |
| -1 | 0.1587 | 15,87ème |
| 0 | 0.5000 | 50ème |
| 1 | 0.8413 | 84.13ème |
| 2 | 0.9772 | 97,72e |
| 3 | 0.9987 | 99,87ème |
Quand l'utiliser
Les scores Z sont essentiels pour :
- Comparer les valeurs de différentes distributions
- Trouver des probabilités en utilisant la distribution normale
- Identifier les valeurs aberrantes (généralement |z| > 3)
- Tests d'hypothèses et intervalles de confiance
- Standardisation des résultats des tests
Conseils
Les scores Z ne fonctionnent que pour les données normalement distribuées. Si votre distribution est très asymétrique ou comporte de lourdes queues, les scores z seront trompeurs. N'oubliez pas non plus la différence entre z (paramètre de population) et t (statistique de l'échantillon) : utilisez z lorsque σ est connu, t lorsque vous l'estimez à partir de l'échantillon.
Utilisez notre Z-Score Calculator pour convertir les scores en z-scores et trouver instantanément des probabilités.