વર્તુળનો પરિઘ અને ક્ષેત્રફળ — સૂત્રો અને કાર્ય કરેલ ઉદાહરણો

વર્તુળો દરેક જગ્યાએ દેખાય છે — વ્હીલ્સ, પાઇપ્સ, ગોળાકાર રૂમ, પિઝા, ગ્રહો. બે માપ દરેક વર્તુળને સંપૂર્ણ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે: પરિઘ (ધારની આસપાસનું અંતર) અને વિસ્તાર (અંદરની જગ્યા). બંને એક જ મૂલ્યમાંથી સીધા અનુસરે છે: ત્રિજ્યા.

મુખ્ય શરતો

ત્રિજ્યા (r): વર્તુળના કેન્દ્રથી તેની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુ સુધીનું અંતર. આ મૂળભૂત માપ છે — બધા વર્તુળ સૂત્રો તેનો ઉપયોગ કરે છે.

વ્યાસ (ડી): કેન્દ્રથી સમગ્ર વર્તુળમાંનું અંતર. હંમેશા ત્રિજ્યાથી બરાબર બમણું: d = 2r.

** પરિઘ (C):** વર્તુળની પરિમિતિ — બહારની ધારની આસપાસનું કુલ અંતર.

વિસ્તાર (A): વર્તુળ દ્વારા બંધ કરાયેલ દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાનો જથ્થો.

π (pi): કોઈપણ વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર. તે અતાર્કિક છે (ક્યારેય ન સમાપ્ત થતું, ક્યારેય પુનરાવર્તિત થતું નથી) અને લગભગ 3.14159265 ની બરાબર છે...

પરિઘ ફોર્મ્યુલા

C = 2πr    or equivalently    C = πd

ઉદાહરણ: 5 સેમી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm

વ્યાસની દ્રષ્ટિએ: જો સીધો વ્યાસ આપવામાં આવે તો:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 cm

બંને એક જ જવાબ આપે છે - તમારી પાસે ગમે તે માપ પસંદ કરો.

ક્ષેત્રફળ

A = πr²

ઉદાહરણ: 5 સેમી ત્રિજ્યા સાથે સમાન વર્તુળ

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²

નોંધ: વિસ્તાર હંમેશા ચોરસ એકમો (cm², m², in²)માં હોય છે. પરિઘ રેખીય એકમોમાં છે (cm, m, in).

પરિઘ અથવા વિસ્તારથી પાછળની તરફ કામ કરવું

કેટલીકવાર તમે પરિઘ અથવા વિસ્તાર જાણો છો અને ત્રિજ્યા શોધવાની જરૂર છે.

પરિઘમાંથી ત્રિજ્યા:

r = C / (2π)

વિસ્તારમાંથી ત્રિજ્યા:

r = √(A / π)

પરિઘમાંથી વ્યાસ:

d = C / π

ઉદાહરણ: ગોળાકાર ક્ષેત્રનો પરિઘ 150 મીટર છે. તેનો વિસ્તાર કેટલો છે?

પગલું 1: ત્રિજ્યા શોધો

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 m

પગલું 2: વિસ્તાર શોધો

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 m²

સામાન્ય કામના ઉદાહરણો

પરિપત્ર પાઇપ ક્રોસ-સેક્શન

એક પાઇપનો આંતરિક વ્યાસ 40 મીમી છે. ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર શું છે?

r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 mm²

પ્રવાહ દરની ગણતરી માટે આ મહત્ત્વપૂર્ણ છે — વિસ્તાર નક્કી કરે છે કે કેટલું પ્રવાહી પસાર થઈ શકે છે.

રનિંગ ટ્રેક

ગોળાકાર રનિંગ ટ્રેક 40 મીટર ત્રિજ્યા ધરાવે છે. એક લેપ કેટલી દૂર છે?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 m

(સ્ટાન્ડર્ડ 400 મીટર ટ્રેક વાસ્તવમાં અંડાકાર છે, ગોળાકાર નથી — પરંતુ આ સિદ્ધાંત દર્શાવે છે.)

પિઝાના કદની સરખામણી

શું 14-ઇંચનો પિઝા બે 10-ઇંચ પિઝા કરતાં વધુ મૂલ્યવાન છે?

14-ઇંચ પિઝા:

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 in²

બે 10-ઇંચ પિઝા:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 in²

બે 10-ઇંચના પિઝા ખૂબ જ થોડા વધુ પિઝા આપે છે — પણ જો કિંમત તુલનાત્મક હોય તો જ.

સેક્ટર અને આર્ક્સ

એક સેક્ટર એ વર્તુળની "સ્લાઇસ" છે (પાઇ સ્લાઇસની જેમ), જે કેન્દ્રીય કોણ θ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.

આર્ક લંબાઈ (સેક્ટરની વક્ર ધાર):

Arc = (θ / 360) × 2πr    [degrees]
Arc = θr                   [radians]

સેક્ટર વિસ્તાર:

Sector area = (θ / 360) × πr²    [degrees]
Sector area = ½r²θ               [radians]

ઉદાહરણ: 8 સેમી ત્રિજ્યા અને કેન્દ્રીય ખૂણો 45° સાથે સેક્ટર

Arc length = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 cm
Sector area = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 cm²

એન્યુલસ (રિંગ આકાર)

એન્યુલસ એ ત્રિજ્યા R (બાહ્ય) અને r (આંતરિક) સાથેના બે કેન્દ્રિત વર્તુળો વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.

Annulus area = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

ઉદાહરણ: બાહ્ય ત્રિજ્યા 10 મીટર અને આંતરિક ત્રિજ્યા 7 મીટર સાથેની ગોળાકાર સરહદ:

Area = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 m²

સૂત્રોનો સારાંશ

માપન	ફોર્મ્યુલા
પરિઘ	C = 2πr = πd
વિસ્તાર	A = πr²
C થી ત્રિજ્યા	r = C / (2π)
A થી ત્રિજ્યા	r = √(A/π)
આર્ક લંબાઈ (ડિગ્રી)	આર્ક = (θ/360) × 2πr
સેક્ટર વિસ્તાર (ડિગ્રી)	A = (θ/360) × πr²
એન્યુલસ વિસ્તાર	A = π(R² − r²)

કોઈપણ વર્તુળ માપની ગણતરી કરવા માટે અમારા સર્કલ કેલ્ક્યુલેટર નો ઉપયોગ કરો — કોઈપણ એક મૂલ્ય દાખલ કરો અને તરત જ અન્ય તમામ મેળવો.