પાયથાગોરિયન પ્રમેય એ તમામ ગણિતના સૌથી પ્રસિદ્ધ પરિણામોમાંનું એક છે - એક લીટીમાં જણાવવા માટે પૂરતું સરળ, 370 થી વધુ જાણીતા પુરાવાઓ ધરાવવા માટે પૂરતું ગહન છે. ફોર્મ્યુલાથી લઈને પ્રેક્ટિકલ એપ્લિકેશન્સ સુધી તમારે જે જાણવાની જરૂર છે તે અહીં છે.
ફોર્મ્યુલા
કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે (એક 90° કોણવાળો ત્રિકોણ):
a^2 + b^2 = c^2
જ્યાં a અને b એ બે પગ છે (બાજુઓ જે કાટખૂણો બનાવે છે) અને c એ કર્ણ છે (જમણા ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ — હંમેશા સૌથી લાંબી બાજુ).
દરેક બાજુ શોધવી
કર્ણ (c): શોધવી
c = √(a^2 + b^2)
પગ શોધવી (a):
a = √(c^2 - b^2)
બીજો પગ શોધવો (b):
b = √(c^2 - a^2)
કાર્ય કરેલ ઉદાહરણો
ઉદાહરણ 1: કાટકોણ ત્રિકોણમાં 3 સેમી અને 4 સેમીના પગ હોય છે. કર્ણ શોધો.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 સેમી
ઉદાહરણ 2: 10 મીટર લાંબી સીડી દિવાલ સામે ઝૂકી જાય છે, જેનો આધાર દિવાલથી 4 મીટર છે. તે કેટલી ઊંચી પહોંચે છે?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 મીટર
પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ્સ
પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ એ ત્રણ પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે જે a² + b² = c²ને સંતોષે છે. આ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં આવે છે અને યાદ રાખવા યોગ્ય છે:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
ટ્રિપલનો કોઈપણ ગુણાંક પણ ત્રિવિધ છે: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) બધા કામ કરે છે.
એક સરળ પુરાવો
સૌથી ભવ્ય પુરાવા વિસ્તારોનો ઉપયોગ કરે છે. બાજુ (a + b) સાથે મોટો ચોરસ દોરો. તેની અંદર, પગ a અને b સાથે જમણા ત્રિકોણની ચાર નકલો ગોઠવો.
ચાર ત્રિકોણ વિસ્તાર 4 × (½ab) = 2ab લે છે. મોટા ચોરસમાં બાકીની જગ્યા c² (કર્ણ પરનો ચોરસ) હોવી જોઈએ.
મોટા ચોરસમાં ક્ષેત્રફળ (a + b)² = a² + 2ab + b² છે.
તેથી: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
તેથી: a² + b² = c²
વાસ્તવિક-વિશ્વ એપ્લિકેશનો
બાંધકામ અને સુથારીકામ
"3-4-5 નિયમ" નો ઉપયોગ દરરોજ બાંધકામ સાઇટ્સ પર કરવામાં આવે છે તે તપાસવા માટે કે ખૂણા સંપૂર્ણ ચોરસ છે. એક દિવાલ સાથે 3 એકમો, અડીને દિવાલ સાથે 4 એકમો માપો, પછી તપાસો કે કર્ણ બરાબર 5 એકમો માપે છે. જો તે થાય, તો કોણ બરાબર 90° છે.
નેવિગેશન
જીપીએસ પહેલા, નેવિગેટર્સ પ્રમેયનો સતત ઉપયોગ કરતા હતા. જો તમે 30 કિમી પૂર્વમાં મુસાફરી કરો છો તો 40 કિમી ઉત્તરમાં, તમારી શરૂઆતથી સીધી રેખાનું અંતર √(30² + 40²) = √2500 = 50 કિમી છે.
આધુનિક GPS સિસ્ટમો કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે પ્રમેયના 3D એક્સ્ટેંશનનો ઉપયોગ કરે છે.
સ્ક્રીન માપો
"65-ઇંચ ટીવી" માં 65 ઇંચની કર્ણ સ્ક્રીન માપન છે. જો તમે આસ્પેક્ટ રેશિયો (16:9) જાણો છો, તો તમે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ પહોળાઈ અને ઊંચાઈ શોધી શકો છો. 65" 16:9 સ્ક્રીન માટે: પહોળાઈ ≈ 56.7", ઊંચાઈ ≈ 31.9".
એન્જિનિયરિંગ અને ભૌતિકશાસ્ત્ર
પ્રમેય માળખાકીય ઈજનેરી (લોડ-બેરિંગ કર્ણની ગણતરી), કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ (3D દ્રશ્યો રેન્ડરીંગ), અને ભૌતિકશાસ્ત્ર (પરિણામી વેક્ટરની ગણતરી - જમણા ખૂણા પર બે દળોની સંયુક્ત અસર)માં પાયારૂપ છે.
3D એક્સ્ટેંશન: ડિસ્ટન્સ ફોર્મ્યુલા
પાયથાગોરિયન પ્રમેય કુદરતી રીતે ત્રણ પરિમાણો સુધી વિસ્તરે છે:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
આનો ઉપયોગ કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ, ફિઝિક્સ સિમ્યુલેશન, GPS ગણતરીઓ અને 3D કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે કામ કરતી કોઈપણ સિસ્ટમમાં થાય છે.
હવે પાયથાગોરિયન પ્રમેયની ગણતરી કરો
અન્ય બે આપેલ કાટકોણ ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુ શોધવા માટે અમારા મફત કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરો. કોઈપણ બે બાજુઓ દાખલ કરો અને પગલું-દર-પગલાની કામગીરી સાથે તરત જ ત્રીજી મેળવો.