ઘન સમીકરણ એ ડિગ્રી 3 નું બહુપદી છે, જેનું સામાન્ય સ્વરૂપ ax³ + bx² + cx + d = 0 છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણોથી વિપરીત, ઘન સમીકરણોમાં 1, 2, અથવા 3 વાસ્તવિક ઉકેલો હોઈ શકે છે અને તેમાં એક સરળ બંધ-સૂત્ર નથી કે જે મોટાભાગના લોકો શાળામાં શીખે છે. જો કે, તેઓ કાર્ડનોના સૂત્ર અથવા સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય તેવા છે.
સામાન્ય ફોર્મ
ax³ + bx² + cx + d = 0
જ્યાં a ≠ 0 (અન્યથા તે ઘન નથી). સમીકરણ આ હોઈ શકે છે:
- 3 અલગ વાસ્તવિક મૂળ
- 1 વાસ્તવિક મૂળ અને 2 જટિલ સંયુક્ત મૂળ
- પુનરાવર્તિત મૂળ (જ્યારે ભેદભાવ શૂન્ય બરાબર થાય છે)
કાર્ડાનો ફોર્મ્યુલા
કાર્ડનોના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે, પ્રથમ x = t - b/(3a) ને બદલીને ઘન (x² શબ્દ દૂર કરો) દબાવો:
t³ + pt + q = 0
પછી મૂળ એક જટિલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે જેમાં ભેદભાવ સામેલ છે:
Δ = -4p³ - 27q²
જો Δ > 0: ત્રણ અલગ વાસ્તવિક મૂળ જો Δ = 0: ઓછામાં ઓછા બે સમાન વાસ્તવિક મૂળ જો Δ < 0: એક વાસ્તવિક મૂળ અને બે જટિલ સંયુક્ત મૂળ
કાર્ય કરેલ ઉદાહરણ
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 ઉકેલો
નિરીક્ષણ અથવા અજમાયશ દ્વારા, અમે નાના પૂર્ણાંકોનું પરીક્ષણ કરી શકીએ છીએ. પરીક્ષણ x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
તેથી x = 1 એ મૂળ છે. ફેક્ટરિંગ આઉટ (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
ત્રણ મૂળ x = 1, 2, 3 છે.
ફેક્ટરિંગ વિના મૂળ શોધવું
ક્યુબિક સમીકરણો માટે કે જે સરસ રીતે પરિબળ કરતા નથી, ઉપયોગ કરો:
- કાર્ડાનોનું સૂત્ર (બીજગણિતીય રીતે ચોક્કસ પરંતુ જટિલ)
- ન્યુટન-રેફસન જેવી સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ (પુનરાવર્તિત, એક સમયે એક મૂળ શોધે છે)
- મૂળનો અંદાજ કાઢવા અને ન્યૂટન-રાફસન સાથે રિફાઇન કરવા માટે ગ્રાફિંગ
અરજીઓ
ઘન સમીકરણો આમાં દેખાય છે:
- એન્જિનિયરિંગ (તાણ-તાણ વિશ્લેષણ, પ્રવાહી ગતિશીલતા)
- ભૌતિકશાસ્ત્ર (પ્રતિરોધક માધ્યમમાં અસ્ત્ર ગતિ, ઘન સામગ્રી)
- અર્થશાસ્ત્ર (ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ, ઉત્પાદન ખર્ચ વળાંક)
- કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ (ક્યુબિક બેઝિયર વણાંકો)
ટિપ્સ
જો તમને તર્કસંગત મૂળની શંકા હોય, તો તર્કસંગત મૂળ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો: કોઈપણ તર્કસંગત મૂળ p/q માં p વિભાજન d અને q વિભાજન a હોય છે. આ તમારા પરીક્ષણ ઉમેદવારોને નોંધપાત્ર રીતે સંકુચિત કરે છે. હંમેશા અવેજી દ્વારા મૂળ ચકાસો.
અમારા ક્યુબિક ઇક્વેશન સોલ્વર નો ઉપયોગ કરો, પછી ભલે તે વાસ્તવિક હોય કે જટિલ.