ચતુર્ભુજ સમીકરણનું સ્વરૂપ ax² + bx + c = 0 છે. તેને ઉકેલવા માટે ચાર પદ્ધતિઓ છે - કયાનો ઉપયોગ કરવો અને ક્યારે બીજગણિતને વધુ ઝડપી બનાવે છે તે જાણવું.
પ્રમાણભૂત ફોર્મ
દરેક ચતુર્ભુજ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:
ax² + bx + c = 0
જ્યાં a ≠ 0 (જો a = 0 હોય, તો તે રેખીય સમીકરણ છે).
ઉદાહરણ:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
પદ્ધતિ 1: ફેક્ટરિંગ
જ્યારે સમીકરણ પરિબળ પૂર્ણાંકોમાં સાફ કરે ત્યારે શ્રેષ્ઠ કાર્ય કરે છે. જ્યારે લાગુ પડે ત્યારે સૌથી ઝડપી પદ્ધતિ.
પગલાં:
- પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખો
- બે સંખ્યાઓ શોધો જે (a × c) થી ગુણાકાર થાય અને b માં ઉમેરો
- જૂથ દ્વારા મધ્યમ પદ અને પરિબળને વિભાજિત કરો
- દરેક પરિબળને શૂન્યની બરાબર સેટ કરો
ઉદાહરણ: x² − 5x + 6 = 0
- બે સંખ્યાઓની જરૂર છે: 6 થી ગુણાકાર કરો, −5 માં ઉમેરો → −2 અને −3
- અવયવ: (x − 2)(x − 3) = 0
- ઉકેલો: x = 2 અથવા x = 3
ઉદાહરણ: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, પરિબળોને 5 → 2 અને 3 માં ઉમેરવાની જરૂર છે
- ફરીથી લખો: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- અવયવ: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- અવયવ: (2x + 3)(x + 1) = 0
- ઉકેલો: x = −3/2 અથવા x = −1
ક્યારે ઉપયોગ કરવો: જ્યારે તમે પરિબળોને ઝડપથી શોધી શકો છો. જો તમને 30 સેકન્ડમાં પરિબળો ન મળે, તો પદ્ધતિઓ સ્વિચ કરો.
પદ્ધતિ 2: ચતુર્ભુજ ફોર્મ્યુલા
દરેક ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે કામ કરે છે. જ્યારે ફેક્ટરિંગ સ્પષ્ટ ન હોય ત્યારે આનો ઉપયોગ કરો.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
ઉદાહરણ: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- ભેદભાવ: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 અથવા x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
આ ભેદભાવ: કેટલા ઉકેલો?
b² − 4ac અભિવ્યક્તિ તમને ઉકેલો તે પહેલાં ઉકેલોની પ્રકૃતિ કહે છે:
| ભેદભાવ કરનાર | ઉકેલોની સંખ્યા | પ્રકાર |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | બે અલગ અલગ વાસ્તવિક ઉકેલો | વાસ્તવિક સંખ્યાઓ |
| b² − 4ac = 0 | એક પુનરાવર્તિત ઉકેલ | વાસ્તવિક, સમાન મૂળ |
| b² − 4ac < 0 | કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી | બે જટિલ/કાલ્પનિક મૂળ |
ઉદાહરણ: x² + 2x + 5 = 0
- ભેદભાવ = 4 − 20 = −16 → કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી
- જટિલ ઉકેલો: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
પદ્ધતિ 3: સ્ક્વેર પૂર્ણ કરવું
સમીકરણને (x + p)² = q સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરે છે. શિરોબિંદુ સ્વરૂપને સમજવા અને ચતુર્ભુજ સૂત્ર મેળવવા માટે આવશ્યક.
પગલાં:
- સતત જમણી બાજુએ ખસેડો
- a વડે ભાગાકાર કરો (જો a ≠ 1)
- બંને બાજુએ (b/2a)² ઉમેરો
- સંપૂર્ણ ચોરસ તરીકે ડાબી બાજુ અવયવ કરો
- બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લો
ઉદાહરણ: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- બંને બાજુએ (6/2)² = 9 ઉમેરો: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 અથવા x = −5
પદ્ધતિ 4: આલેખન
ઉકેલો (મૂળ) એ પેરાબોલા y = ax² + bx + c ના x-વિક્ષેપો છે.
- બે એક્સ-ઇન્ટરસેપ્ટ → બે વાસ્તવિક ઉકેલો
- એક એક્સ-ઇન્ટરસેપ્ટ (x-અક્ષ પર શિરોબિંદુ) → એક પુનરાવર્તિત ઉકેલ
- કોઈ એક્સ-ઇન્ટરસેપ્ટ નથી → કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી (જટિલ મૂળ)
ક્યારે ઉપયોગ કરવો: વિઝ્યુઅલ સમજણ માટે અથવા ગ્રાફિંગ કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરતી વખતે. ચોક્કસ જવાબો માટે વ્યવહારુ નથી.
યોગ્ય પદ્ધતિ પસંદ કરી રહ્યા છીએ
| સિચ્યુએશન | શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ |
|---|---|
| પૂર્ણાંક ગુણાંક, પરિબળ લાગે છે | પ્રથમ ફેક્ટરિંગ |
| કોઈપણ ચતુર્ભુજ, ચોક્કસ જવાબની જરૂર છે | ચતુર્ભુજ સૂત્ર |
| શિરોબિંદુ/લઘુત્તમ/મહત્તમ સમજવું | ચોરસ પૂર્ણ કરી રહ્યા છીએ |
| વિઝ્યુઅલ સમજ અથવા અંદાજ | આલેખન |
| b² − 4ac < 0 | ચતુર્ભુજ સૂત્ર (જટિલ મૂળ આપે છે) |
ઝડપી સંદર્ભ: સામાન્ય દાખલાઓ
ચોરસનો તફાવત: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
પરફેક્ટ ચોરસ ત્રિનોમી: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (પુનરાવર્તિત)
કોઈ મધ્યમ પદ નથી: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (વાસ્તવિક માત્ર જો c અને a વિરુદ્ધ ચિહ્નો હોય)
મૂળનો સરવાળો અને ઉત્પાદન
મૂળ r₁ અને r₂ સાથે ax² + bx + c = 0 માટે:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
ઉદાહરણ ચકાસણી: x² − 5x + 6 = 0, મૂળ 2 અને 3:
- સરવાળો: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- ઉત્પાદન: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
ડિગ્રી-3 સમીકરણો માટે અમારા ક્યુબિક સમીકરણ સોલ્વરનો ઉપયોગ કરો અથવા કોઈપણ પ્રમાણભૂત ચતુર્ભુજ માટે ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સૂત્ર લાગુ કરો.