GCD dan KPK adalah konsep dasar teori bilangan yang digunakan dalam menyederhanakan pecahan, menyelesaikan persamaan, dan masalah penjadwalan. Berikut setiap metode dijelaskan dengan jelas.

Definisi

PBB (Pembagi Persekutuan Terbesar) — disebut juga GCF (Faktor Persekutuan Terbesar) atau KPK (Faktor Persekutuan Tertinggi) — adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi kedua bilangan tanpa sisa.

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi kedua bilangan tersebut.

GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b

Hubungan ini berarti setelah Anda menemukan satu, Anda dapat menghitung yang lain:

LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)

Metode 1: Faktorisasi Prima

Terbaik untuk: Pemahaman, angka yang lebih kecil, beberapa angka sekaligus.

Langkah-langkah untuk GCD:

  1. Faktorkan prima setiap bilangan
  2. Temukan faktor prima persekutuan
  3. Kalikan pangkat terendah dari faktor persekutuan

Langkah-langkah untuk KPK:

  1. Faktorkan prima setiap bilangan
  2. Kalikan pangkat tertinggi dari semua faktor prima

Contoh: KPK dan KPK dari 36 dan 48

Faktorisasi prima:

  • 36 = 2² × 3²
  • 48 = 2⁴ × 3

GCD: Faktor persekutuannya adalah 2 dan 3. Ambil pangkat terendah:

  • KPK = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

KPK: Semua faktor. Ambil kekuatan tertinggi:

  • KPK = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

Verifikasi: 36×48 = 1.728 = 12×144 ✓

Metode 2: Algoritma Euclidean (GCD)

Terbaik untuk: Bilangan yang lebih besar — ​​jauh lebih cepat daripada faktorisasi.

Wawasan utamanya: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b), ulangi hingga sisanya 0.

GCD(a, b):
  while b ≠ 0:
    r = a mod b
    a = b
    b = r
  return a

Contoh: GCD(252, 105)

Melangkah A B r = mod b
1 252 105 42
2 105 42 21
3 42 21 0

GCD = 21 (sisa terakhir bukan nol)

Contoh: KPK(1071, 462)

Melangkah A B R
1 1071 462 147
2 462 147 21
3 147 21 0

KPK = 21

Metode 3: Metode Pembagian/Tangga

Terbaik untuk: Pembelajar visual, menemukan GCD dan KPK secara bersamaan.

Bagilah kedua bilangan tersebut dengan faktor prima persekutuan terkecilnya berulang kali:

Contoh: KPK dan KPK dari 12 dan 18

2 | 12   18
3 |  6    9
  |  2    3

PBT = hasil kali pembagi yang digunakan = 2 × 3 = 6 KPK = hasil kali pembagi × sisa bilangan = 2 × 3 × 2 × 3 = 36

KPK untuk Lebih dari Dua Bilangan

Contoh: KPK(4, 6, 10)

Faktorisasi prima:

  • 4 = 2²
  • 6 = 2×3
  • 10 = 2×5

Ambil pangkat tertinggi dari setiap bilangan prima: 2² × 3 × 5 = 60

Verifikasi: 60 − 4 = 15 ✓, 60 − 6 = 10 ✓, 60 − 10 = 6 ✓

Aplikasi Dunia Nyata

Menyederhanakan pecahan: Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan KPKnya.

  • 24/36: KPK(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3

Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda: Mencari KPK dari penyebutnya.

  • 1/4 + 1/6: KPK(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12

Masalah penjadwalan: "Dua bus berangkat pada waktu yang sama. Satu berangkat setiap 12 menit, satu lagi setiap 18 menit. Kapan mereka berangkat bersama lagi?"

  • KPK(12, 18) = 36 → setiap 36 menit

Bahan pemotongan: "Sebuah papan berukuran 36 cm, papan lainnya berukuran 48 cm. Berapakah potongan terpanjang yang panjangnya sama yang dapat kamu potong dari keduanya tanpa sisa?"

  • KPK(36, 48) = 12 cm

Pemeriksaan Mental Cepat

GCD selalu ≤ angka yang lebih kecil KPK selalu ≥ angka yang lebih besar Jika KPK(a,b) = 1, bilangan-bilangan tersebut koprima — KPK(a,b) = a × b

Contoh: KPK(7, 13) = 1 (keduanya bilangan prima, tidak ada faktor persekutuan) → KPK = 7 × 13 = 91