ಘನ ಸಮೀಕರಣವು ಡಿಗ್ರಿ 3 ರ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ax³ + bx² + cx + d = 0. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳು 1, 2, ಅಥವಾ 3 ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುವ ಸರಳವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಡಾನೊ ಸೂತ್ರ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ
ax³ + bx² + cx + d = 0
ಅಲ್ಲಿ a ≠ 0 (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಘನವಲ್ಲ). ಸಮೀಕರಣವು ಹೊಂದಿರಬಹುದು:
- 3 ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು
- 1 ನೈಜ ಮೂಲ ಮತ್ತು 2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು
- ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮೂಲ (ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ)
ಕಾರ್ಡಾನೋಸ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ
ಕಾರ್ಡಾನೊ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು, ಮೊದಲು x = t - b/(3a) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಘನವನ್ನು (x² ಪದವನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿ) ಒತ್ತಿರಿ:
t³ + pt + q = 0
ನಂತರ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ:
Δ = -4p³ - 27q²
Δ > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ: ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು Δ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ: ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಸಮಾನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು Δ <0 ಆಗಿದ್ದರೆ: ಒಂದು ನೈಜ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು
ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಉದಾಹರಣೆ
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
ತಪಾಸಣೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗದ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಣ್ಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಪರೀಕ್ಷೆ x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
ಆದ್ದರಿಂದ x = 1 ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಅಪವರ್ತನ (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
ಮೂರು ಮೂಲಗಳು x = 1, 2, 3.
ಅಪವರ್ತನವಿಲ್ಲದೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಪವರ್ತನವಾಗದ ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಬಳಸಿ:
- ಕಾರ್ಡಾನೊ ಸೂತ್ರ (ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ನಿಖರ ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ)
- ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು (ಪುನರಾವರ್ತನೆ, ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ)
- ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಸ್ಕರಿಸಲು ಗ್ರಾಫಿಂಗ್
ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು
ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ:
- ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ (ಒತ್ತಡ-ಒತ್ತಡ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್)
- ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ (ಪ್ರತಿರೋಧ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟೈಲ್ ಚಲನೆ, ಘನ ವಸ್ತುಗಳು)
- ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ (ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು)
- ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ (ಘನ ಬೆಜಿಯರ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು)
ಸಲಹೆಗಳು
ನೀವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅನುಮಾನಿಸಿದರೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ: ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೂಲ p/q ನಲ್ಲಿ p ವಿಭಜಿಸುವ d ಮತ್ತು q ವಿಭಜಿಸುವ a. ಇದು ನಿಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಹುಡುಕಲು ನಮ್ಮ ಘನ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಹಾರಕ ಬಳಸಿ.