ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ - ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆ, 370 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿರುವ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಳವಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳವರೆಗೆ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವೂ ಇಲ್ಲಿದೆ.
ಫಾರ್ಮುಲಾ
ಯಾವುದೇ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ (ಒಂದು 90° ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ):
a^2 + b^2 = c^2
ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಎರಡು ಕಾಲುಗಳು (ಬಲ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬದಿಗಳು) ಮತ್ತು c ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ (ಬಲ ಕೋನದ ಎದುರು ಭಾಗ - ಯಾವಾಗಲೂ ಉದ್ದವಾದ ಬದಿ).
ಪ್ರತಿ ಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
** ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಸಿ):**
c = √(a^2 + b^2)
** ಕಾಲು ಹುಡುಕುವುದು (ಎ):**
a = √(c^2 - b^2)
ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಬಿ):
b = √(c^2 - a^2)
ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಉದಾಹರಣೆ 1: ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವು 3 ಸೆಂ ಮತ್ತು 4 ಸೆಂ ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
ಉದಾಹರಣೆ 2: 10 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಏಣಿಯು ಗೋಡೆಗೆ ಒರಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ತಳವು ಗೋಡೆಯಿಂದ 4 ಮೀಟರ್. ಅದು ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ತಲುಪುತ್ತದೆ?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 ಮೀಟರ್
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ಸ್
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಮೂರು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಅದು a² + b² = c² ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿವೆ:
| ಎ | ಬಿ | ಸಿ |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
ಟ್ರಿಪಲ್ನ ಯಾವುದೇ ಗುಣಾಕಾರವೂ ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿದೆ: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸ.
ಒಂದು ಸರಳ ಪುರಾವೆ
ಅತ್ಯಂತ ಸೊಗಸಾದ ಪುರಾವೆ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಬದಿಯಲ್ಲಿ (a + b) ದೊಡ್ಡ ಚೌಕವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ಒಳಗೆ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಕಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿ.
ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನಗಳು 4 × (½ab) = 2ab ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ದೊಡ್ಡ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಜಾಗವು c² ಆಗಿರಬೇಕು (ಹೃದಯದ ಮೇಲಿನ ಚೌಕ).
ದೊಡ್ಡ ಚೌಕವು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (a + b)² = a² + 2ab + b².
ಆದ್ದರಿಂದ: a² + 2ab + b² - 2ab = c²
ಆದ್ದರಿಂದ: a² + b² = c²
ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು
ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಮರಗೆಲಸ
"3-4-5 ನಿಯಮ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿ ದಿನವೂ ನಿರ್ಮಾಣ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಚದರ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗೋಡೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 3 ಘಟಕಗಳನ್ನು, ಪಕ್ಕದ ಗೋಡೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 4 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ, ನಂತರ ಕರ್ಣವು ನಿಖರವಾಗಿ 5 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಅದು ಮಾಡಿದರೆ, ಕೋನವು ನಿಖರವಾಗಿ 90 ° ಆಗಿದೆ.
ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್
ಜಿಪಿಎಸ್ ಮೊದಲು, ನ್ಯಾವಿಗೇಟರ್ಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ನೀವು ಪೂರ್ವಕ್ಕೆ 30 ಕಿಮೀ ನಂತರ 40 ಕಿಮೀ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಾರಂಭದಿಂದ ನಿಮ್ಮ ನೇರ-ರೇಖೆಯ ಅಂತರವು √(30² + 40²) = √2500 = 50 ಕಿಮೀ.
ಆಧುನಿಕ GPS ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಮೇಯದ 3D ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.
ಪರದೆಯ ಗಾತ್ರಗಳು
"65-ಇಂಚಿನ ಟಿವಿ" 65 ಇಂಚುಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಪರದೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೀವು ಆಕಾರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ (16:9), ನೀವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಖರವಾದ ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. 65" 16:9 ಪರದೆಗಾಗಿ: ಅಗಲ ≈ 56.7", ಎತ್ತರ ≈ 31.9".
ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ
ಪ್ರಮೇಯವು ರಚನಾತ್ಮಕ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ (ಲೋಡ್-ಬೇರಿಂಗ್ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು), ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ (3D ದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ರೆಂಡರಿಂಗ್), ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ (ಫಲಿತಾಂಶದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು - ಬಲ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಲಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಪರಿಣಾಮ) ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿದೆ.
3D ವಿಸ್ತರಣೆ: ದೂರ ಸೂತ್ರ
ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
ಇದನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳು, GPS ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು 3D ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈಗ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
ಇತರ ಎರಡನ್ನು ನೀಡಿದ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮ್ಮ ಉಚಿತ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಹಂತ-ಹಂತದ ಕೆಲಸದ ಜೊತೆಗೆ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಪಡೆಯಿರಿ.