ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ax² + bx + c = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ - ಯಾವುದನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಾರ್ಮ್
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
ax² + bx + c = 0
ಅಲ್ಲಿ a ≠ 0 (a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ).
** ಉದಾಹರಣೆಗಳು:**
- x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)
- 2x² + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)
- x² - 9 = 0 (a=1, b=0, c=-9)
ವಿಧಾನ 1: ಅಪವರ್ತನ
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಶುದ್ಧೀಕರಿಸಿದಾಗ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ವೇಗವಾದ ವಿಧಾನ.
ಹಂತಗಳು:
- ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ
- (a × c) ಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮತ್ತು b ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
- ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ಮಧ್ಯಮ ಪದ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ
- ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ
ಉದಾಹರಣೆ: x² - 5x + 6 = 0
- ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: 6 ಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಿ, −5 → −2 ಮತ್ತು −3 ಗೆ ಸೇರಿಸಿ
- ಅಂಶ: (x - 2)(x - 3) = 0
- ಪರಿಹಾರಗಳು: x = 2 ಅಥವಾ x = 3
ಉದಾಹರಣೆ: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, 5 → 2 ಮತ್ತು 3 ಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ
- ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- ಅಂಶ: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- ಅಂಶ: (2x + 3)(x + 1) = 0
- ಪರಿಹಾರಗಳು: x = -3/2 ಅಥವಾ x = -1
** ಯಾವಾಗ ಬಳಸಬೇಕು:** ನೀವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿದಾಗ. ನೀವು 30 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದಿದ್ದರೆ, ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.
ವಿಧಾನ 2: ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ
ಪ್ರತಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಪವರ್ತನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
** ಉದಾಹರಣೆ:** 2x² + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)
- ತಾರತಮ್ಯ: b² - 4ac = 9 - (4 × 2 × -2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (-3 + 5) ÷ 4 = 0.5 ಅಥವಾ x = (-3 - 5) ÷ 4 = −2
ತಾರತಮ್ಯ: ಎಷ್ಟು ಪರಿಹಾರಗಳು?
b² - 4ac ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀವು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು ಪರಿಹಾರಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ:
| ತಾರತಮ್ಯ | ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ | ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ |
|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳು | ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು |
| b² - 4ac = 0 | ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರ | ನಿಜವಾದ, ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳು |
| b² - 4ac < 0 | ನಿಜವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ | ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ/ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬೇರುಗಳು |
ಉದಾಹರಣೆ: x² + 2x + 5 = 0
- ತಾರತಮ್ಯ = 4 - 20 = −16 → ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ
- ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಹಾರಗಳು: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = -1 ± 2i
ವಿಧಾನ 3: ಚೌಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (x + p)² = q ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಶೃಂಗದ ರೂಪವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅತ್ಯಗತ್ಯ.
ಹಂತಗಳು:
- ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಸರಿಸಿ
- ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಿ (ಒಂದು ವೇಳೆ ≠ 1)
- ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ (b/2a)² ಸೇರಿಸಿ
- ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕದಂತೆ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಿ
- ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ
ಉದಾಹರಣೆ: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = -5
- ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ (6/2)² = 9 ಸೇರಿಸಿ: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ± 2
- x = -1 ಅಥವಾ x = -5
ವಿಧಾನ 4: ಗ್ರಾಫಿಂಗ್
ಪರಿಹಾರಗಳು (ಬೇರುಗಳು) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y = ax² + bx + c ನ x-ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ.
- ಎರಡು x-ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳು → ಎರಡು ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳು
- ಒಂದು x-ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ (x-ಆಕ್ಸಿಸ್ನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗ) → ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರ
- ಯಾವುದೇ x-ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ → ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು)
** ಯಾವಾಗ ಬಳಸಬೇಕು:** ದೃಶ್ಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫಿಂಗ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸುವಾಗ. ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿಲ್ಲ.
ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು
| ಪರಿಸ್ಥಿತಿ | ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿಧಾನ |
|---|---|
| ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ | ಮೊದಲು ಅಪವರ್ತನ |
| ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್, ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ | ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರ |
| ಶೃಂಗ/ಕನಿಷ್ಠ/ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಡರ್ಸ್ಟ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ | ಚೌಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು |
| ದೃಶ್ಯ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಅಥವಾ ಅಂದಾಜು | ಗ್ರಾಫಿಂಗ್ |
| b² - 4ac < 0 | ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ) |
ತ್ವರಿತ ಉಲ್ಲೇಖ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿಗಳು
** ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:** x² - k² = (x + k)(x - k) = 0 → x = ±k
ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (ಪುನರಾವರ್ತಿತ)
** ಮಧ್ಯಮ ಪದವಿಲ್ಲ:** ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (ಸಿ ಮತ್ತು ಎ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ)
ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ
r₁ ಮತ್ತು r₂ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ax² + bx + c = 0 ಗಾಗಿ:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
** ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಶೀಲನೆ:** x² - 5x + 6 = 0, ಬೇರುಗಳು 2 ಮತ್ತು 3:
- ಮೊತ್ತ: 2 + 3 = 5 = -(-5)/1 ✓
- ಉತ್ಪನ್ನ: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
ಡಿಗ್ರಿ-3 ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಘನ ಸಮೀಕರಣ ಪರಿಹಾರಕವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ.