द्विपद संभाव्यता वितरण एका मूलभूत प्रश्नाचे उत्तर देते: एखाद्या इव्हेंटमध्ये यशाची संभाव्यता ज्ञात असल्यास, निश्चित संख्येच्या स्वतंत्र चाचण्यांमध्ये अचूक यश मिळण्याची संभाव्यता किती आहे? हे गुणवत्ता नियंत्रण, वैद्यकीय चाचणी, नाणे पलटणे आणि कोठेही हो-किंवा-नाही चाचण्यांच्या निश्चित संख्येवर लागू होते.

सूत्र

द्विपद संभाव्यता सूत्र n स्वतंत्र चाचण्यांमध्ये अचूक k यशांच्या संभाव्यतेची गणना करते:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

कुठे:

  • n = चाचण्यांची संख्या
  • k = इच्छित यशांची संख्या
  • p = प्रत्येक चाचणीत यशस्वी होण्याची शक्यता
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — संयोजनांची संख्या

C(n,k) तुम्हाला सांगते की तुम्ही n चाचण्यांमध्ये k यशांची मांडणी किती प्रकारे करू शकता.

कार्य केलेले उदाहरण

गुणवत्ता निरीक्षक यादृच्छिकपणे 5% दोष दर असलेल्या बॅचमधून 10 लाइट बल्बचे नमुने घेतात. नक्की 2 बल्ब सदोष असण्याची शक्यता किती आहे?

  • n = 10 चाचण्या
  • k = 2 यश (दोष)
  • p = 0.05 (दोष दर)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 or 7.46%

त्यामुळे त्या नमुन्यात 2 दोषपूर्ण बल्ब सापडण्याची 7.46% शक्यता आहे.

संबंधित संभाव्यता

बऱ्याचदा तुम्हाला संचयी संभाव्यता हवी असते — "जास्तीत जास्त 2 दोष" किंवा "किमान 2 दोष":

  • P(X ≤ k): 0 ते k पर्यंतच्या सर्व संभाव्यतेची बेरीज करा
  • P(X ≥ k): k ते n पर्यंत सर्व संभाव्यतेची बेरीज करा

मोठ्या n साठी, द्विपदी वितरण सामान्य वितरणाच्या अंदाजे आहे, म्हणूनच z-स्कोअर आणि सामान्य सारण्या त्याऐवजी वापरल्या जातात.

द्विपद संभाव्यता कधी वापरायची

हे वितरण वापरा जेव्हा:

  • तुमच्याकडे चाचण्यांची निश्चित संख्या आहे
  • प्रत्येक चाचणीचे दोन परिणाम असतात (यश/अपयश, सदोष/चांगले, होय/नाही)
  • यशाची शक्यता कायम आहे
  • चाचण्या स्वतंत्र आहेत

सामान्य ऍप्लिकेशन्समध्ये औषध चाचणी परिणामकारकता, निवडणूक मतदान, उत्पादन दोष दर आणि खेळाच्या निकालाचा अंदाज यांचा समावेश होतो.

टिप्स

मोठ्या n साठी द्विपद सूत्र संगणकीयदृष्ट्या जड होते — कॅल्क्युलेटर आणि सांख्यिकी सॉफ्टवेअर आवश्यक आहेत. हे देखील लक्षात ठेवा की हे स्थिर संभाव्यतेसह स्वतंत्र घटना गृहीत धरते; जर त्या गृहितकांचा भंग झाला तर परिणाम चुकीचा असेल.

मॅन्युअल गणना न करता त्वरित संभाव्यता मोजण्यासाठी आमचे द्विपद संभाव्यता कॅल्क्युलेटर वापरा.