पायथागोरियन प्रमेय हे सर्व गणितातील सर्वात प्रसिद्ध परिणामांपैकी एक आहे — एका ओळीत सांगण्यास पुरेसे सोपे, 370 हून अधिक ज्ञात पुरावे आहेत. फॉर्म्युलापासून ते व्यावहारिक ऍप्लिकेशन्सपर्यंत तुम्हाला माहित असणे आवश्यक असलेली प्रत्येक गोष्ट येथे आहे.
सूत्र
कोणत्याही काटकोन त्रिकोणासाठी (एक 90° कोन असलेला त्रिकोण):
a^2 + b^2 = c^2
जिथे a आणि b हे दोन पाय आहेत (ज्या बाजू काटकोन बनवतात) आणि c हे कर्ण आहे (उजव्या कोनाच्या विरुद्ध बाजू — नेहमी सर्वात लांब बाजू).
प्रत्येक बाजू शोधत आहे
कर्ण शोधणे (c):
c = √(a^2 + b^2)
पाय शोधणे (अ):
a = √(c^2 - b^2)
दुसरा पाय शोधत आहे (ब):
b = √(c^2 - a^2)
काम केलेली उदाहरणे
उदाहरण १: काटकोन त्रिकोणाचे पाय ३ सेमी आणि ४ सेमी आहेत. कर्ण शोधा.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 सेमी
उदाहरण २: १० मीटर लांबीची शिडी भिंतीला झुकते आणि तिचा पाया भिंतीपासून ४ मीटर अंतरावर असतो. ते किती उंचीवर पोहोचते?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 मीटर
पायथागोरियन ट्रिपल्स
पायथागोरियन ट्रिपल हा तीन पूर्ण संख्यांचा संच आहे जो a² + b² = c² पूर्ण करतो. हे बर्याचदा समस्यांमध्ये येतात आणि लक्षात ठेवण्यासारखे आहेत:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
तिहेरीचा कोणताही गुणक देखील तिप्पट असतो: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) सर्व कार्य करतात.
एक साधा पुरावा
सर्वात मोहक पुरावा क्षेत्रे वापरते. बाजूने (a + b) मोठा चौरस काढा. त्याच्या आत, पाय a आणि b सह काटकोन त्रिकोणाच्या चार प्रती लावा.
चार त्रिकोण क्षेत्र 4 × (½ab) = 2ab घेतात. मोठ्या चौकोनातील उर्वरित जागा c² (कर्णावरील चौरस) असणे आवश्यक आहे.
मोठ्या चौरसाचे क्षेत्रफळ (a + b)² = a² + 2ab + b² आहे.
तर: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
म्हणून: a² + b² = c²
वास्तविक-जागतिक अनुप्रयोग
बांधकाम आणि सुतारकाम
"3-4-5 नियम" दररोज बांधकाम साइटवर वापरला जातो की कोपरे पूर्णपणे चौरस आहेत हे तपासण्यासाठी. एका भिंतीच्या बाजूने 3 युनिट्स, लगतच्या भिंतीवर 4 युनिट्स मोजा, नंतर कर्ण अचूक 5 एकके मोजतो हे तपासा. असे झाल्यास, कोन अगदी 90° आहे.
नेव्हिगेशन
जीपीएसपूर्वी, नेव्हिगेटर सतत प्रमेय वापरत असत. जर तुम्ही 30 किमी पूर्वेकडे प्रवास केला तर 40 किमी उत्तरेला, सुरुवातीपासून तुमचे सरळ रेषेचे अंतर √(30² + 40²) = √2500 = 50 किमी आहे.
आधुनिक GPS प्रणाली समन्वयांमधील अंतर मोजण्यासाठी प्रमेयाचा 3D विस्तार वापरतात.
स्क्रीन आकार
"65-इंच टीव्ही" मध्ये 65 इंच कर्ण स्क्रीन मापन आहे. जर तुम्हाला गुणोत्तर (16:9) माहित असेल, तर तुम्ही प्रमेय वापरून अचूक रुंदी आणि उंची शोधू शकता. 65" 16:9 स्क्रीनसाठी: रुंदी ≈ 56.7", उंची ≈ 31.9".
अभियांत्रिकी आणि भौतिकशास्त्र
प्रमेय स्ट्रक्चरल अभियांत्रिकी (लोड-बेअरिंग कर्णांची गणना करणे), संगणक ग्राफिक्स (3D दृश्ये प्रस्तुत करणे) आणि भौतिकशास्त्र (परिणामी वेक्टर्सची गणना करणे - काटकोनातील दोन शक्तींचा एकत्रित परिणाम) मध्ये मूलभूत आहे.
3D विस्तार: अंतर सूत्र
पायथागोरियन प्रमेय नैसर्गिकरित्या तीन आयामांमध्ये विस्तारित आहे:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
हे संगणक ग्राफिक्स, भौतिकशास्त्र सिम्युलेशन, GPS गणना आणि 3D निर्देशांकांसह कार्य करणाऱ्या कोणत्याही प्रणालीमध्ये वापरले जाते.
पायथागोरियन प्रमेय आता मोजा
इतर दोन दिलेल्या काटकोन त्रिकोणाची कोणतीही बाजू शोधण्यासाठी आमचे विनामूल्य कॅल्क्युलेटर वापरा. कोणत्याही दोन बाजू प्रविष्ट करा आणि चरण-दर-चरण कार्यासह, त्वरित तिसरी मिळवा.