वर्तुळाचा परिघ आणि क्षेत्रफळ - सूत्रे आणि कार्य केलेली उदाहरणे

वर्तुळे सर्वत्र दिसतात — चाके, पाईप्स, गोलाकार खोल्या, पिझ्झा, ग्रह. दोन मोजमाप प्रत्येक वर्तुळाची पूर्णपणे व्याख्या करतात: घेर (काठाभोवतीचे अंतर) आणि क्षेत्रफळ (आतील जागा). दोन्ही एकाच मूल्यावरून थेट फॉलो करतात: त्रिज्या.

प्रमुख अटी

त्रिज्या (r): वर्तुळाच्या केंद्रापासून त्याच्या काठावरील कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे अंतर. हे मूलभूत मापन आहे — सर्व वर्तुळ सूत्रे ते वापरतात.

व्यास (d): वर्तुळात मध्यभागी असलेले अंतर. नेहमी त्रिज्या दुप्पट: d = 2r.

परिघ (C): वर्तुळाचा परिमिती — बाहेरील काठाभोवती एकूण अंतर.

क्षेत्र (A): वर्तुळाने बंद केलेल्या द्विमितीय जागेचे प्रमाण.

π (pi): कोणत्याही वर्तुळाच्या परिघाचे त्याच्या व्यासाचे गुणोत्तर. ते तर्कहीन आहे (कधीही न संपणारे, कधीही न येणारे) आणि अंदाजे 3.14159265...

परिघ सूत्र

C = 2πr    or equivalently    C = πd

उदाहरण: 5 सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm

व्यासाच्या दृष्टीने: व्यास थेट दिल्यास:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 cm

दोघेही एकच उत्तर देतात - तुमच्याकडे कोणते मापन आहे ते निवडा.

क्षेत्र सूत्र

A = πr²

उदाहरण: 5 सेमी त्रिज्या असलेले समान वर्तुळ

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²

टीप: क्षेत्रफळ नेहमी चौरस एकक (cm², m², in²) मध्ये असते. घेर रेखीय एककांमध्ये आहे (सेमी, मी, मध्ये).

परिघ किंवा क्षेत्रापासून मागे काम करणे

कधीकधी तुम्हाला परिघ किंवा क्षेत्र माहित असते आणि त्रिज्या शोधणे आवश्यक असते.

परिघ पासून त्रिज्या:

r = C / (2π)

क्षेत्रापासून त्रिज्या:

r = √(A / π)

परिघ पासून व्यास:

d = C / π

उदाहरण: वर्तुळाकार फील्डचा घेर 150 मीटर आहे. त्याचे क्षेत्रफळ किती आहे?

पायरी 1: त्रिज्या शोधा

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 m

पायरी 2: क्षेत्र शोधा

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 m²

सामान्य कामाची उदाहरणे

वर्तुळाकार पाईप क्रॉस-सेक्शन

पाईपचा अंतर्गत व्यास 40 मिमी असतो. क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र काय आहे?

r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 mm²

प्रवाह दर गणनेसाठी हे महत्त्वाचे आहे — क्षेत्रफळ किती द्रवपदार्थातून जाऊ शकतो हे निर्धारित करते.

रनिंग ट्रॅक

वर्तुळाकार रनिंग ट्रॅकची त्रिज्या 40 मीटर आहे. एक लॅप किती लांब आहे?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 m

(मानक 400 मीटर ट्रॅक प्रत्यक्षात अंडाकृती आहेत, गोलाकार नाहीत — परंतु हे तत्त्व दर्शवते.)

पिझ्झाच्या आकाराची तुलना

14-इंच पिझ्झा दोन 10-इंच पिझ्झापेक्षा जास्त किमतीचा आहे का?

14-इंच पिझ्झा:

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 in²

दोन 10-इंच पिझ्झा:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 in²

दोन 10-इंच पिझ्झा खूपच किंचित जास्त पिझ्झा देतात — परंतु जर किंमत तुलनात्मक असेल तरच.

सेक्टर आणि आर्क्स

सेक्टर हा वर्तुळाचा एक "स्लाइस" आहे (पाय स्लाइस सारखा), मध्य कोन θ द्वारे परिभाषित केला जातो.

चाप लांबी (सेक्टरची वक्र किनार):

Arc = (θ / 360) × 2πr    [degrees]
Arc = θr                   [radians]

सेक्टर क्षेत्र:

Sector area = (θ / 360) × πr²    [degrees]
Sector area = ½r²θ               [radians]

उदाहरण: 8 सेमी त्रिज्या आणि मध्यवर्ती कोन 45° असलेला सेक्टर

Arc length = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 cm
Sector area = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 cm²

वलय (रिंग शेप)

वलय म्हणजे त्रिज्या R (बाह्य) आणि r (आतील) असलेल्या दोन केंद्रित वर्तुळांमधील प्रदेश.

Annulus area = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

उदाहरण: बाह्य त्रिज्या 10 मीटर आणि अंतर्गत त्रिज्या 7 मीटर असलेली वर्तुळाकार सीमा:

Area = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 m²

सूत्रांचा सारांश

मोजमाप	सूत्र
घेर	C = 2πr = πd
क्षेत्रफळ	A = πr²
सी पासून त्रिज्या	r = C / (2π)
A पासून त्रिज्या	r = √(A/π)
चाप लांबी (अंश)	आर्क = (θ/360) × 2πr
क्षेत्र क्षेत्र (अंश)	A = (θ/360) × πr²
ॲन्युलस क्षेत्र	A = π(R² − r²)

कोणतेही वर्तुळ मापन मोजण्यासाठी आमचे सर्कल कॅल्क्युलेटर वापरा — कोणतेही एक मूल्य प्रविष्ट करा आणि इतर सर्व त्वरित मिळवा.