कॉन्फिडन्स इंटरव्हल ही मूल्यांची एक श्रेणी असते ज्यामध्ये नमुना डेटावरून गणना केलेली खरी लोकसंख्या सरासरी असते. एकल पॉइंट अंदाज देण्याऐवजी, ते संबंधित आत्मविश्वास पातळीसह एक श्रेणी प्रदान करते — सामान्यत: 95% — म्हणजे तुम्ही सॅम्पलिंगची अनेक वेळा पुनरावृत्ती केल्यास, खरा सरासरी सुमारे 95% वेळा त्या श्रेणीमध्ये येईल.

सूत्र

सामान्यपणे वितरीत केलेल्या लोकसंख्येच्या नमुन्यासाठी:

CI = x̄ ± (t* × SE)

कुठे:

  • x̄ (x-बार) = नमुना मध्य
  • t* = टी-वितरणातील महत्त्वपूर्ण मूल्य (नमुना आकार आणि आत्मविश्वास स्तरावर अवलंबून असते)
  • SE = मानक त्रुटी = s / √n
  • s = नमुना मानक विचलन
  • n = नमुना आकार

मध्यांतराची रुंदी आत्मविश्वास पातळी, नमुना आकार आणि डेटामधील परिवर्तनशीलता यावर अवलंबून असते.

कार्य केलेले उदाहरण

एका संशोधकाने 25 ऍथलीट्सच्या विश्रांतीच्या हृदयाची गती मोजली आणि मानक विचलन 6 bpm सह 58 bpm शोधले. खऱ्या लोकसंख्येसाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतराचा अर्थ काय आहे?

SE = 6 / √25 = 6 / 5 = 1.2 bpm
df = 25 - 1 = 24 degrees of freedom
t* ≈ 2.064 (from t-table at df=24, α=0.05)
CI = 58 ± (2.064 × 1.2) = 58 ± 2.48
CI = [55.52, 60.48] bpm

आम्ही 95% विश्वास ठेवू शकतो की या लोकसंख्येसाठी खरे सरासरी विश्रांती हृदय गती 55.52 आणि 60.48 bpm दरम्यान आहे.

त्रुटीचे अंतर समजून घेणे

त्रुटीचे मार्जिन (t* × SE) अंदाजाच्या अचूकतेचे प्रमाण ठरवते. मोठे नमुने त्रुटीचे मार्जिन कमी करतात कारण √n सामान्यत: s पेक्षा वेगाने वाढतो. उच्च आत्मविश्वास पातळी (99% वि 95%) मध्यांतर विस्तृत करते कारण t* वाढते.

कधी वापरायचे

आत्मविश्वास मध्यांतर वापरा जेव्हा:

  • तुमच्याकडे नमुना डेटा आहे आणि लोकसंख्या मापदंडाचा अंदाज लावायचा आहे
  • तुम्हाला तुमच्या अंदाजासोबत अनिश्चितताही सांगावी लागेल
  • तुम्ही संशोधन अहवाल लिहित आहात किंवा निष्कर्ष प्रकाशित करत आहात

बिंदूच्या अंदाजापेक्षा आत्मविश्वास मध्यांतरांना प्राधान्य दिले जाते कारण ते नमुना मध्ये अंतर्निहित परिवर्तनशीलता मान्य करतात.

टिप्स

जेव्हा लोकसंख्या मानक विचलन अज्ञात असते तेव्हा टी-वितरण वापरले जाते (बहुतेक वास्तविक-जगातील प्रकरणे). z-वितरण फक्त तेव्हाच वापरले जाते जेव्हा σ ओळखले जाते, जे दुर्मिळ आहे. मोठ्या नमुन्यांसाठी (n > 30), टी-वितरण सामान्य वितरणाच्या जवळ येते, त्यामुळे फरक नगण्य होतो.

नमुना डेटावरून त्वरित अंतरांची गणना करण्यासाठी आमचे आत्मविश्वास मध्यांतर कॅल्क्युलेटर वापरा.