घन समीकरण हे ax³ + bx² + cx + d = 0 असे सामान्य रूप असलेले पदवी 3 चे बहुपदी आहे. चतुर्भुज समीकरणांच्या विपरीत, घन समीकरणांमध्ये 1, 2, किंवा 3 वास्तविक समाधाने असू शकतात आणि बहुतेक लोक शाळेत शिकतात असे सोपे बंद-सूत्र नसते. तथापि, ते कार्डानोचे सूत्र किंवा संख्यात्मक पद्धती वापरून सोडवण्यायोग्य आहेत.
सामान्य फॉर्म
ax³ + bx² + cx + d = 0
जेथे a ≠ 0 (अन्यथा ते घन नाही). समीकरण हे असू शकते:
- 3 भिन्न वास्तविक मुळे
- 1 वास्तविक मूळ आणि 2 जटिल संयुग्म मुळे
- एक पुनरावृत्ती मूळ (जेव्हा भेदभाव शून्य असतो)
कार्डानोचा फॉर्म्युला
कार्डानोचे सूत्र वापरण्यासाठी, प्रथम x = t - b/(3a) च्या जागी क्यूबिक दाब (x² टर्म काढून टाका):
t³ + pt + q = 0
नंतर भेदभावाचा समावेश असलेले जटिल सूत्र वापरून मुळे आढळतात:
Δ = -4p³ - 27q²
जर Δ > 0: तीन भिन्न वास्तविक मुळे जर Δ = 0: किमान दोन समान वास्तविक मुळे जर Δ < 0: एक वास्तविक मूळ आणि दोन जटिल संयुग्मित मुळे
कार्य केलेले उदाहरण
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 सोडवा
तपासणी किंवा चाचणीद्वारे, आम्ही लहान पूर्णांकांची चाचणी करू शकतो. चाचणी x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
तर x = 1 हे मूळ आहे. फॅक्टरिंग आउट (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
तीन मुळे x = 1, 2, 3 आहेत.
फॅक्टरिंगशिवाय मुळे शोधणे
क्यूबिक समीकरणांसाठी जे चांगले घटक देत नाहीत, वापरा:
- कार्डानोचे सूत्र (बीजगणितदृष्ट्या अचूक परंतु गुंतागुंतीचे)
- न्यूटन-रॅफसन सारख्या संख्यात्मक पद्धती (पुनरावृत्ती, एका वेळी एक मूळ शोधते)
- न्यूटन-रॅफसनसह मुळांचा अंदाज घेण्यासाठी आणि परिष्कृत करण्यासाठी आलेख तयार करा
अर्ज
घन समीकरणे यामध्ये दिसतात:
- अभियांत्रिकी (ताण-ताण विश्लेषण, द्रव गतिशीलता)
- भौतिकशास्त्र (प्रतिरोधक माध्यमातील प्रक्षेपण गती, घन पदार्थ)
- अर्थशास्त्र (ऑप्टिमायझेशन समस्या, उत्पादन खर्च वक्र)
- संगणक ग्राफिक्स (क्यूबिक बेझियर वक्र)
टिप्स
तुम्हाला परिमेय मुळांचा संशय असल्यास, परिमेय मूळ प्रमेय वापरा: कोणत्याही परिमेय मूळ p/q ला p भागाकार d आणि q भागाकार a आहे. हे तुमच्या चाचणी उमेदवारांना लक्षणीयरीत्या कमी करते. नेहमी प्रतिस्थापनाद्वारे मुळांची पडताळणी करा.
आमची क्यूबिक इक्वेशन सॉल्व्हर वापरून सर्व मुळे झटपट शोधा, मग ती खरी असो वा जटिल.