चतुर्भुज समीकरणाचे स्वरूप ax² + bx + c = 0 आहे. ते सोडविण्याच्या चार पद्धती आहेत - कोणते वापरायचे आणि केव्हा बीजगणित अधिक जलद बनवायचे हे जाणून घेणे.
मानक फॉर्म
प्रत्येक चतुर्भुज समीकरण असे लिहिले जाऊ शकते:
ax² + bx + c = 0
जेथे a ≠ 0 (जर a = 0 असेल, तर ते एक रेखीय समीकरण आहे).
उदाहरणे:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
पद्धत 1: फॅक्टरिंग
जेव्हा समीकरण घटक पूर्णांकांमध्ये स्वच्छ केले जातात तेव्हा सर्वोत्तम कार्य करते. जेव्हा लागू असेल तेव्हा सर्वात जलद पद्धत.
पायऱ्या:
- मानक स्वरूपात लिहा
- (a × c) ला गुणाकार आणि b ला जोडणाऱ्या दोन संख्या शोधा
- गट करून मध्यम पद आणि घटक विभाजित करा
- प्रत्येक घटक शून्यावर सेट करा
उदाहरण: x² − 5x + 6 = 0
- दोन संख्यांची आवश्यकता आहे: 6 ला गुणा, −5 → −2 आणि −3 मध्ये जोडा
- घटक: (x − 2)(x − 3) = 0
- उपाय: x = 2 किंवा x = 3
उदाहरण: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, 5 → 2 आणि 3 मध्ये घटक जोडणे आवश्यक आहे
- पुन्हा लिहा: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- घटक: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- घटक: (2x + 3)(x + 1) = 0
- उपाय: x = −3/2 किंवा x = −1
केव्हा वापरायचे: जेव्हा तुम्ही घटक पटकन ओळखू शकता. जर तुम्हाला 30 सेकंदात घटक सापडले नाहीत, तर पद्धती बदला.
पद्धत 2: चतुर्भुज सूत्र
प्रत्येक द्विघात समीकरणासाठी कार्य करते. जेव्हा फॅक्टरिंग स्पष्ट नसते तेव्हा हे वापरा.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
उदाहरण: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- भेदभाव: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 किंवा x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
भेदभाव: किती उपाय?
b² − 4ac ही अभिव्यक्ती तुम्हाला सोडवण्यापूर्वी उपायांचे स्वरूप सांगते:
| भेदभाव करणारा | उपायांची संख्या | प्रकार |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | दोन वेगळे वास्तविक उपाय | वास्तविक संख्या |
| b² − 4ac = 0 | एक पुनरावृत्ती उपाय | वास्तविक, समान मुळे |
| b² − 4ac < 0 | कोणतेही वास्तविक उपाय नाहीत | दोन जटिल/काल्पनिक मुळे |
उदाहरण: x² + 2x + 5 = 0
- भेदभाव = 4 − 20 = −16 → कोणतेही वास्तविक उपाय नाहीत
- जटिल उपाय: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
पद्धत 3: स्क्वेअर पूर्ण करणे
समीकरणाचे (x + p)² = q स्वरूपात रूपांतर करते. शिरोबिंदू फॉर्म समजून घेण्यासाठी आणि चतुर्भुज सूत्र प्राप्त करण्यासाठी आवश्यक.
पायऱ्या:
- सतत उजव्या बाजूला हलवा
- a ने भागा (जर ≠ 1)
- दोन्ही बाजूंना (b/2a)² जोडा
- परिपूर्ण चौकोन म्हणून डावी बाजूचा घटक करा
- दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घ्या
उदाहरण: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- (6/2)² = 9 दोन्ही बाजूंना जोडा: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 किंवा x = −5
पद्धत 4: आलेख काढणे
सोल्युशन (मुळे) हे पॅराबोला y = ax² + bx + c चे x-इंटरसेप्ट्स आहेत.
- दोन एक्स-इंटरसेप्ट → दोन वास्तविक उपाय
- एक एक्स-इंटरसेप्ट (x-अक्षावरील शिरोबिंदू) → एक पुनरावृत्ती समाधान
- एक्स-इंटरसेप्ट नाहीत → कोणतेही वास्तविक उपाय नाहीत (जटिल मुळे)
केव्हा वापरायचे: दृश्य समजण्यासाठी किंवा ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरताना. अचूक उत्तरांसाठी व्यावहारिक नाही.
योग्य पद्धत निवडणे
| परिस्थिती | सर्वोत्तम पद्धत |
|---|---|
| पूर्णांक गुणांक, गुणात्मक दिसते | प्रथम फॅक्टरिंग |
| कोणतेही चतुर्भुज, अचूक उत्तर हवे आहे | चतुर्भुज सूत्र |
| शिरोबिंदू/किमान/कमाल समजणे | चौरस पूर्ण करणे |
| व्हिज्युअल समज किंवा अंदाजे | आलेख काढणे |
| b² − 4ac < 0 | चतुर्भुज सूत्र (जटिल मुळे देते) |
द्रुत संदर्भ: सामान्य नमुने
चौरसांचा फरक: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
परफेक्ट स्क्वेअर ट्रिनॉमियल: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (पुनरावृत्ती)
मध्यम पद नाही: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (क आणि a मध्ये विरुद्ध चिन्हे असतील तरच वास्तविक)
मुळांची बेरीज आणि उत्पादन
ax² + bx + c = 0 मुळे r₁ आणि r₂ साठी:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
उदाहरण पडताळणी: x² − 5x + 6 = 0, मुळे 2 आणि 3:
- बेरीज: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- उत्पादन: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
डिग्री-3 समीकरणांसाठी आमचे घन समीकरण सॉल्व्हर वापरा किंवा कोणत्याही मानक चतुर्भुजासाठी वरील द्विघात सूत्र लागू करा.