सामान्य वितरण (किंवा गॉसियन वितरण) हे सांख्यिकीतील सर्वात महत्वाचे संभाव्यता वितरण आहे. हे वर्णन करते की किती नैसर्गिक घटना वितरीत केल्या जातात — चाचणी गुण, उंची, मापन त्रुटी, स्टॉक रिटर्न — आणि बहुतेक सांख्यिकीय अनुमान आणि गृहितक चाचणीचा पाया आहे.
सूत्र
सामान्य वितरणासाठी संभाव्यता घनता कार्य आहे:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
कुठे:
- μ (mu) = मध्य (वितरणाचे केंद्र)
- σ (सिग्मा) = मानक विचलन (वितरणाचा प्रसार)
- x = तुम्ही मूल्यमापन करत असलेले मूल्य
- e ≈ २.७१८२८
- π ≈ ३.१४१५९
आकार घंटा-वक्र आहे, आणि सुमारे 68% मूल्ये सरासरीच्या 1 मानक विचलनामध्ये, 95% 2 मानक विचलनांमध्ये आणि 99.7% 3 मानक विचलनांमध्ये (68-95-99.7 नियम) येतात.
कार्य केलेले उदाहरण
प्रमाणित चाचणीचा अर्थ 100 आणि मानक विचलन 15 असतो. यादृच्छिक स्कोअर 115 पेक्षा कमी असण्याची संभाव्यता काय आहे?
प्रथम, z-स्कोअरमध्ये रूपांतरित करा:
z = (115 - 100) / 15 = 1.0
1.0 चा z-स्कोअर म्हणजे 115 हे सरासरीच्या वरचे एक मानक विचलन आहे. मानक सामान्य सारणी किंवा कॅल्क्युलेटर वापरून, P(z ≤ 1.0) ≈ 0.8413 किंवा 84.13%.
त्यामुळे सुमारे 84% परीक्षार्थी 115 पेक्षा कमी गुण मिळवतात.
मुख्य गुणधर्म
सामान्य वितरण त्याच्या सरासरी आणि मानक विचलनाद्वारे पूर्णपणे परिभाषित केले जाते. सरासरी हलवल्याने वक्र डावीकडे किंवा उजवीकडे हलते; मानक विचलन वाढल्याने ते सपाट आणि रुंद होते. वक्र अंतर्गत एकूण क्षेत्रफळ नेहमी 1 बरोबर असते.
वरील z-स्कोअर सूत्र वापरून कोणतेही सामान्य वितरण मानक सामान्य वितरण (म्हणजे 0, मानक विचलन 1) मध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते. हे मानकीकरण तुम्हाला एक सार्वत्रिक सामान्य सारणी वापरण्याची परवानगी देते.
कधी वापरायचे
सामान्य वितरण वापरा जेव्हा:
- केंद्रीय मूल्याभोवती डेटा क्लस्टर
- मूल्ये घंटा-आकाराच्या हिस्टोग्रामचे अनुसरण करतात
- केंद्रीय मर्यादा प्रमेय लागू होते (नमुना म्हणजे अंदाजे सामान्य वितरणापासून)
- तुम्ही गृहीतक चाचणी किंवा आत्मविश्वास मध्यांतर करत आहात
बहुतेक वास्तविक-जगातील सतत डेटा साधारणपणे सामान्य वितरणाचे अनुसरण करतात, ज्यामुळे हे लागू आकडेवारीचे वर्कहोर्स बनते.
टिप्स
डेटा सामान्य आहे असे मानण्यापूर्वी हिस्टोग्राम किंवा Q-Q प्लॉट वापरून सामान्यता तपासा. जर डेटा मोठ्या प्रमाणात तिरकस असेल किंवा आउटलायर्स असेल तर, सामान्य वितरण योग्य असू शकत नाही. नॉन-सामान्य डेटासाठी, नॉन-पॅरामेट्रिक चाचण्या किंवा डेटा ट्रान्सफॉर्मेशन वापरा.
संभाव्यता, टक्केवारी आणि झेड-स्कोअर त्वरित शोधण्यासाठी आमचे सामान्य वितरण कॅल्क्युलेटर वापरा.