Kľúčové pojmy

Pred samotným výpočtom si ozrejme základné pojmy:

Pojem Symbol Definícia
Polomer r Vzdialenosť od stredu k okraju
Priemer d Vzdialenosť naprieč kružnicou (d = 2r)
Obvod C Vzdialenosť po kružnici
Obsah A Plocha vnútri kružnice
Pi π Matematická konštanta ≈ 3,14159

Výpočet obvodu

Obvod je celková vzdialenosť po kružnici.

Vzorec: $$C = 2\pi r \quad ext{alebo} \quad C = \pi d$$

Príklad: Polomer = 5 cm

$$C = 2 imes 3{,}14159 imes 5 = 31{,}42 ext{ cm}$$

Výpočet obsahu

Obsah je plocha, ktorú zaberá kružnica.

Vzorec: $$A = \pi r^2$$

Príklad: Polomer = 5 cm

$$A = 3{,}14159 imes 5^2 = 78{,}54 ext{ cm}^2$$

Spätný výpočet

Ak poznáte obvod alebo obsah:

Dané Hľadané Vzorec
Obvod C Polomer r = C / (2π)
Obsah A Polomer r = √(A / π)
Obvod C Priemer d = C / π

Príklad: Okrúhle pole má obvod 150 m.

  • Polomer: r = 150 / (2π) = 23,87 m
  • Obsah: A = π × 23,87² ≈ 1 790 m²

Praktické príklady

Prierez rúry: Priemer = 40 mm → r = 20 mm $$A = \pi imes 20^2 = 400\pi pprox 1{.}257 ext{ mm}^2$$

Atletická dráha: Polomer = 40 m $$C = 2\pi imes 40 = 80\pi pprox 251{,}3 ext{ m}$$

Porovnanie pizze:

  • 1 pizza 14 palcov: A = π × 7² = 49π ≈ 153,9 in²
  • 2 pizze 10 palcov: A = 2 × π × 5² = 50π ≈ 157,1 in²

Dve malé pizze spolu sú trochu väčšie!

Výseče a oblúky

Výseč je kus koláča z kružnice.

Dĺžka oblúka: $$L = rac{ heta}{360} imes 2\pi r \quad ext{(stupne)}$$ $$L = heta r \quad ext{(radiány)}$$

Obsah výseče: $$A = rac{ heta}{360} imes \pi r^2 \quad ext{(stupne)}$$ $$A = rac{1}{2}r^2 heta \quad ext{(radiány)}$$

Príklad: Výseč 45°, r = 8 cm

  • Dĺžka oblúka: (45/360) × 2π × 8 ≈ 6,28 cm
  • Obsah výseče: (45/360) × π × 64 ≈ 25,13 cm²

Medzikružie (prsteň)

Medzikružie je plocha medzi dvoma sústrednými kružnicami.

$$A = \pi(R^2 - r^2)$$

Príklad: Vonkajší polomer R = 10 m, vnútorný r = 7 m $$A = \pi(100 - 49) = 51\pi pprox 160{,}2 ext{ m}^2$$

Prehľad vzorcov

Vzorec Výraz
Obvod C = 2πr = πd
Obsah A = πr²
Polomer z obvodu r = C/(2π)
Polomer z obsahu r = √(A/π)
Dĺžka oblúka L = (θ/360) × 2πr
Obsah výseče A = (θ/360) × πr²
Medzikružie A = π(R² − r²)

Použite našu kalkulačku obvodu a obsahu kružnice na rýchle výpočty.