Pytagorova veta je jedným z najznámejších výsledkov v celej matematike – dostatočne jednoduchý na to, aby sa dal uviesť v jednom riadku, dostatočne hlboký na to, aby mal viac ako 370 známych dôkazov. Tu je všetko, čo potrebujete vedieť, od vzorca až po praktické aplikácie.
Vzorec
Pre akýkoľvek pravouhlý trojuholník (trojuholník s jedným uhlom 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Kde a a b sú dve nohy (strany, ktoré zvierajú pravý uhol) a c je prepona (strana oproti pravému uhlu – vždy najdlhšia strana).
Hľadanie každej strany
Hľadanie prepony (c):
c = √(a^2 + b^2)
Hľadanie nohy (a):
a = √(c^2 - b^2)
Nájdenie druhej nohy (b):
b = √(c^2 - a^2)
Spracované príklady
Príklad 1: Pravý trojuholník má nohy 3 cm a 4 cm. Nájdite preponu.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Príklad 2: Rebrík dlhý 10 metrov sa opiera o stenu so základňou 4 metre od steny. Ako vysoko to siaha?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 metra
Pytagorejské trojky
Pytagorova trojica je množina troch celých čísel, ktoré spĺňajú a² + b² = c². Tieto sa často vyskytujú pri problémoch a stojí za to si ich zapamätať:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Akýkoľvek násobok trojky je tiež trojica: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) všetky fungujú.
Jednoduchý dôkaz
Najelegantnejší dôkaz využíva plochy. Nakreslite veľký štvorec so stranou (a + b). Vnútri usporiadajte štyri kópie pravého trojuholníka s nohami a a b.
Štyri trojuholníky zaberajú plochu 4 × (½ab) = 2ab. Zostávajúci priestor vo veľkom štvorci musí byť c² (štvorec na prepone).
Veľký štvorec má plochu (a + b)² = a² + 2ab + b².
Takže: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Preto: a² + b² = c²
Aplikácie v reálnom svete
Stavebníctvo a tesárstvo
"Pravidlo 3-4-5" sa používa každý deň na stavbách, aby sa skontrolovalo, či sú rohy dokonale štvorcové. Odmerajte 3 jednotky pozdĺž jednej steny, 4 jednotky pozdĺž susednej steny a potom skontrolujte, či uhlopriečka meria presne 5 jednotiek. Ak áno, uhol je presne 90°.
Navigácia
Pred GPS navigátori neustále používali vetu. Ak cestujete 30 km na východ a potom 40 km na sever, vaša priama vzdialenosť od začiatku je √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Moderné systémy GPS používajú na výpočet vzdialeností medzi súradnicami 3D rozšírenie vety.
Veľkosti obrazovky
„65-palcový televízor“ má uhlopriečku obrazovky 65 palcov. Ak poznáte pomer strán (16:9), presnú šírku a výšku zistíte pomocou vety. Pre 65" obrazovku s pomerom strán 16:9: šírka ≈ 56,7", výška ≈ 31,9".
Inžinierstvo a fyzika
Táto teoréma je základom v stavebnom inžinierstve (výpočet nosných uhlopriečok), počítačovej grafike (vykresľovanie 3D scén) a fyzike (výpočet výsledných vektorov - kombinovaný účinok dvoch síl v pravom uhle).
3D rozšírenie: Vzorec vzdialenosti
Pytagorova veta sa prirodzene rozširuje na tri dimenzie:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Používa sa v počítačovej grafike, fyzikálnych simuláciách, výpočtoch GPS a akomkoľvek systéme pracujúcom s 3D súradnicami.
Teraz vypočítajte Pytagorovu vetu
Pomocou našej bezplatnej kalkulačky nájdite akúkoľvek stranu pravouhlého trojuholníka vzhľadom na ostatné dve. Zadajte ľubovoľné dve strany a okamžite získajte tretiu spolu s postupnou prácou.