Kubická rovnica je polynóm 3. stupňa so všeobecným tvarom ax³ + bx² + cx + d = 0. Na rozdiel od kvadratických rovníc môžu mať kubické rovnice 1, 2 alebo 3 reálne riešenia a nemajú jednoduchý uzavretý vzorec, ktorý sa väčšina ľudí učí v škole. Sú však riešiteľné pomocou Cardanovho vzorca alebo numerických metód.

Všeobecný formulár

ax³ + bx² + cx + d = 0

Kde a ≠ 0 (inak to nie je kubické). Rovnica môže mať:

  • 3 odlišné skutočné korene
  • 1 skutočný koreň a 2 komplexne konjugované korene
  • Opakovaný koreň (keď sa diskriminant rovná nule)

Cardanov vzorec

Ak chcete použiť Cardanov vzorec, najprv stlačte kubickú jednotku (vylúčte člen x²) dosadením x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Potom sa korene nájdu pomocou zložitého vzorca zahŕňajúceho diskriminant:

Δ = -4p³ - 27q²

Ak Δ > 0: tri odlišné skutočné korene Ak Δ = 0: aspoň dva rovnaké skutočné korene Ak Δ < 0: jeden skutočný koreň a dva komplexne združené korene

Spracovaný príklad

Vyriešte x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Kontrolou alebo pokusom môžeme otestovať malé celé čísla. Testovanie x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Takže x = 1 je koreň. Rozdelenie (x – 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Tri korene sú x = 1, 2, 3.

Hľadanie koreňov bez faktoringu

Pre kubické rovnice, ktoré nefaktorujú pekne, použite:

  1. Cardanov vzorec (algebraicky presný, ale komplikovaný)
  2. Numerické metódy ako Newton-Raphson (iteratívna, nájde vždy jeden koreň)
  3. Graf na odhadnutie koreňov a spresnenie pomocou Newton-Raphson

Aplikácie

Kubické rovnice sa objavujú v:

  • Inžinierstvo (analýza napätia a deformácie, dynamika tekutín)
  • Fyzika (pohyb projektilu v odporovom médiu, kubické materiály)
  • Ekonomika (problémy s optimalizáciou, krivky výrobných nákladov)
  • Počítačová grafika (kubické Bézierove krivky)

Tipy

Ak máte podozrenie na racionálne korene, použite vetu o racionálnom koreni: každý racionálny koreň p/q má p deliace daq delenie a. To výrazne zužuje vašich kandidátov na testovanie. Always verify roots by substitution.

Použite náš [Riešiteľ kubických rovníc] (/sk/math/kalkul/kubický-riešiteľ kubických rovníc) na okamžité nájdenie všetkých koreňov, či už skutočných alebo zložitých.