Polčas rozpadu je čas potrebný na rozpad alebo premenu polovice látky. Objavuje sa v jadrovej fyzike, farmakológii, chémii a archeológii – všade tam, kde niečo exponenciálne klesá.
Formula polčasu rozpadu
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Alebo ekvivalentne:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
kde:
- N(t) = zostávajúce množstvo v čase t
- N₀ = počiatočné množstvo
- t½ = polčas rozpadu
- λ = konštanta rozpadu = ln(2) ÷ t½ ≈ 0,693 ÷ t½
- e = Eulerovo číslo (2,718...)
Základný výpočet polčasu rozpadu
Koľko zostáva po n polčasoch?
Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
| Uplynulý polčas rozpadu | Zostávajúci zlomok | Percento |
|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 7 | 1/128 | 0.78% |
| 10 | 1/1024 | 0.098% |
Príklad: 200 g látky s 10-dňovým polčasom rozpadu po 30 dňoch:
- Počet polčasov = 30 ÷ 10 = 3
- Zostávajúce = 200 × (½)³ = 200 × 0,125 = 25 g
Vyhľadanie zostávajúcej sumy kedykoľvek
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Príklad: 500 mg látky, polčas = 8 hodín. Koľko zostáva po 20 hodinách?
- N(20) = 500 × (½)^(20/8) -N(20) = 500 x (0,5)^2,5
- N(20) = 500 × 0,1768 = 88,4 mg
Hľadanie uplynutého času zo zostávajúceho množstva
t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)
Alebo: t = t½ × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)
Príklad: Začnite s 1 000 g, polčas rozpadu = 5 rokov. Kedy zostáva 62,5 g?
- 62,5/1 000 = 0,0625 = (½)^n → n = 4 polčasy
- t = 4 × 5 = 20 rokov
Konštanta rozpadu
λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½
Rozpadová konštanta λ je pravdepodobnosť za jednotku času, že sa jadro rozpadne. Používa sa vo vzorci exponenciálneho rozpadu:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Príklad: Polčas = 20 minút:
- λ = 0,693 ÷ 20 = 0,03466 za minútu
- Po 60 minútach: N = N₀ × e^(-0,03466 × 60) = N₀ × e^(-2,079) = N₀ × 0,125
To potvrdzuje: 60 minút = 3 polčasy → zostávajúcich 12,5 % ✓
Poločasy rádioaktívnych izotopov
| izotop | Polčas rozpadu | Použite |
|---|---|---|
| Uhlík-14 | 5 730 rokov | Rádiokarbónové datovanie |
| Urán-238 | 4,47 miliardy rokov | Geologické datovanie veku |
| Jód-131 | 8,02 dňa | Liečba rakoviny štítnej žľazy |
| Technecium - 99 m | 6,01 hodiny | Lekárske zobrazovanie |
| Polónium-210 | 138,4 dňa | — |
| Stroncium-90 | 28,8 roka | Obavy z jadrového spadu |
Carbon Dating: Praktická aplikácia
Uhlík-14 má polčas rozpadu 5 730 rokov a nachádza sa vo všetkých živých organizmoch. Keď organizmus zomrie, prestane absorbovať nový C-14, takže pomer C-14 k C-12 sa predvídateľne zníži.
Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)
Príklad: Vo vzorke zostáva 25 % pôvodného C-14:
- 25 % = (½)^n → n = 2 polčasy
- Vek = 2 × 5 730 = 11 460 rokov
Uhlíkové datovanie je spoľahlivé pre vzorky staré až ~50 000 rokov (približne 8–9 polčasov, po ktorých zostáva tak málo C-14, že meranie sa stáva nespoľahlivým).
Polčas rozpadu vo farmakológii
Polčas liečiva určuje frekvenciu dávkovania. Po 4–5 polčasoch sa vylúčilo približne 94–97 % liečiva:
| Drug | Polčas rozpadu | Frekvencia dávkovania |
|---|---|---|
| Ibuprofen | 2 hodiny | Každých 4-6 hodín |
| aspirín | 15 – 20 minút* | Denne na protidoštičkovú |
| kofeín | 5–6 hodín | Účinky ~ 8-10 hodín |
| Diazepam (válium) | 20 – 100 hodín | Raz denne alebo menej |
*Účinok aspirínu na krvné doštičky trvá oveľa dlhšie, než je jeho vlastný polčas v dôsledku ireverzibilnej väzby.
Použite našu kalkulačku exponentov na rýchly výpočet (½)^n pre ľubovoľný počet polčasov.