Prvočíslo je celé číslo väčšie ako 1, ktoré má práve dva faktory: 1 a samo seba. Prvočísla sú stavebnými kameňmi všetkých celých čísel – každé celé číslo možno vyjadriť ako súčin prvočísel.

Prvých 25 prvočísel

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Všimnite si, že 2 je jediné párne prvočíslo. Všetky ostatné párne čísla sú deliteľné 2.

Metóda 1: Skúšobná divízia

Najjednoduchší spôsob, ako otestovať, či je číslo prvočíslo – skontrolujte, či ho nejaké číslo až do jeho druhej odmocniny delí rovnomerne.

Kľúčový poznatok: Ak má n faktor väčší ako √n, má aj zodpovedajúci faktor menší ako √n. Musíte teda skontrolovať len do √n.

Algoritmus:

  1. Ak n < 2, nie je prvočíslo
  2. Ak n = 2, prvočíslo
  3. Ak je n párne (okrem 2), nie je prvočíslo
  4. Skontrolujte všetky nepárne čísla od 3 do √n
  5. Ak ľubovoľné delíme n rovnomerne, nie je prvočíslo
  6. V opačnom prípade prim

Príklad: Je 97 prvočíslo?

√97 ≈ 9,85, preto skontrolujte prvočísla až do 9: 2, 3, 5, 7

  • 97 ÷ 2 = 48,5 (nie celé)
  • 97 ÷ 3 = 32,33... (nie celé)
  • 97 ÷ 5 = 19,4 (nie celé)
  • 97 ÷ 7 = 13,86 (nie celé)

Nenašli sa žiadne deliče — 97 je prvočíslo.

Príklad: Je 91 prvočíslo?

√91 ≈ 9,54, skontrolujte do 9: 2, 3, 5, 7

  • 91 ÷ 7 = 13 (celé číslo!)

91 nie je prvočíslo — 91 = 7 × 13.

Metóda 2: Eratosthenove sito

Eratosthenove sito nájde všetky prvočísla až po daný limit. Je to rýchle a elegantné, vynašiel ho grécky matematik Eratosthenes okolo roku 240 pred Kristom.

Ak chcete nájsť všetky prvočísla do 50:

  1. Napíšte čísla 2 až 50
  2. Začnite s 2 (prvé číslo). Prečiarknite všetky násobky 2 (4, 6, 8...)
  3. Presuňte sa na ďalšie nezačiarknuté číslo: 3. Prečiarknite násobky 3 (9, 15, 21...)
  4. Ďalej neškrtnuté: 5. Prečiarknite násobky 5 (25, 35...)
  5. Ďalej neškrtnuté: 7. Prečiarknite násobky 7 (49...)
  6. Zastavte, keď dosiahnete √50 ≈ 7.07
  7. Všetky zostávajúce neprečiarknuté čísla sú prvočísla

Nastaví až 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Nastaví až 100: Kompletný zoznam

Rozsah Primes
1–10 2, 3, 5, 7
11-20 11, 13, 17, 19
21-30 23, 29
31-40 31, 37
41–50 41, 43, 47
51–60 53, 59
61–70 61, 67
71–80 71, 73, 79
81–90 83, 89
91–100 97

Existuje 25 prvočísel pod 100.

Rýchle testy deliteľnosti

Pred úplným rozdelením skontrolujte tieto pravidlá:

Deliteľné podľa Ak...
2 Posledná číslica je párna (0,2,4,6,8)
3 Súčet číslic deliteľných 3
5 Posledná číslica je 0 alebo 5
7 Žiadne jednoduché pravidlo – stačí rozdeliť
11 Striedavý ciferný súčet deliteľný 11

Príklad: Je 143 prvočíslo?

  • Ani ✓
  • 1+4+3 = 8, nie je deliteľné 3 ✓
  • Nekončí na 0 alebo 5 ✓
  • √143 ≈ 11,96, skontrolujte do 11
  • 143 ÷ 7 = 20,43 ✓
  • 143 ÷ 11 = 13 — deliteľné!

143 = 11 × 13. Nie je prvočíslo.

Prečo záleží na prvoradách

Kryptografia: Šifrovanie RSA – používané na zabezpečenie internetového bankovníctva, HTTPS a e-mailov – sa opiera o skutočnosť, že vynásobenie dvoch veľkých prvočísel je jednoduché, ale prerátanie výsledku späť na prvočísla je mimoriadne ťažké.

Informatika: Hašovacie tabuľky, generátory náhodných čísel a kontrolné súčty využívajú vlastnosti prvočísel.

Čistá matematika: Distribúcia prvočísel zostáva jedným z najhlbších nevyriešených problémov v matematike – Riemannova hypotéza.

Zaujímavé hlavné fakty

  • Najväčšie známe prvočíslo (od roku 2024) má viac ako 41 miliónov číslic
  • Dvojité prvočísla sú prvočísla, ktoré sa líšia o 2 (11 a 13, 17 a 19, 41 a 43)
  • Prvočísel je nekonečne veľa — dokázané Euklidesom okolo roku 300 pred Kr
  • Goldbachova domnienka (nedokázaná od roku 1742): každé párne číslo > 2 je súčtom dvoch prvočísel

Čítať ďalej