Kvadratická rovnica má tvar ax² + bx + c = 0. Existujú štyri metódy na ich vyriešenie — vedieť, ktorú použiť a kedy, robí algebru oveľa rýchlejšou.
Štandardný formulár
Každú kvadratickú rovnicu možno zapísať takto:
ax² + bx + c = 0
Kde a ≠ 0 (ak a = 0, ide o lineárnu rovnicu).
Príklady:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Metóda 1: Faktoring
Funguje najlepšie, keď sa rovnica rozpočíta na celé čísla. Najrýchlejšia metóda, ak je to možné.
Kroky:
- Napíšte v štandardnej forme
- Nájdite dve čísla, ktoré sa vynásobia (a × c) a pripočítajú k b
- Rozdeľte stredný termín a faktor zoskupením
- Nastavte každý faktor rovný nule
Príklad: x² − 5x + 6 = 0
- Potrebujete dve čísla: vynásobte 6, pridajte −5 → −2 a −3
- Faktor: (x − 2) (x − 3) = 0
- Riešenia: x = 2 alebo x = 3
Príklad: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, je potrebné pridať koeficienty k 5 → 2 a 3
- Prepíšte: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Faktor: 2x(x + 1) + 3 (x + 1) = 0
- Faktor: (2x + 3)(x + 1) = 0 – Riešenia: x = −3/2 alebo x = −1
Kedy použiť: Keď rýchlo zistíte faktory. Ak nenájdete faktory do 30 sekúnd, zmeňte metódy.
Metóda 2: Kvadratický vzorec
Funguje pre ** každú** kvadratickú rovnicu. Použite to, keď faktoring nie je zrejmý.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Príklad: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2) – diskriminačné: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 alebo x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Diskriminant: Koľko riešení?
Výraz b² − 4ac vám povie povahu riešení predtým, ako vyriešite:
| Diskriminačný | Počet riešení | Typ |
|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Dve odlišné skutočné riešenia | Reálne čísla |
| b² − 4ac = 0 | Jedno opakované riešenie | Skutočné, rovnaké korene |
| b² − 4ac < 0 | Žiadne skutočné riešenia | Dva komplexné/imaginárne korene |
Príklad: x² + 2x + 5 = 0
- Diskriminant = 4 − 20 = −16 → žiadne reálne riešenia
- Komplexné riešenia: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Metóda 3: Dokončenie štvorca
Transformuje rovnicu do tvaru (x + p)² = q. Nevyhnutné pre pochopenie tvaru vrcholu a odvodenie kvadratického vzorca.
Kroky:
- Pohybujte konštantne na pravú stranu
- Vydeľte a (ak a ≠ 1)
- Pridajte (b/2a)² na obe strany
- Zvážte ľavú stranu ako dokonalý štvorec
- Vezmite druhú odmocninu z oboch strán
Príklad: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = -5
- Pridajte (6/2)² = 9 na obe strany: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 alebo x = −5
Metóda 4: Graf
Riešenia (odmocniny) sú priesečníky x paraboly y = ax² + bx + c.
- Dva priesečníky x → dve reálne riešenia
- Jeden priesečník x (vrchol na osi x) → jedno opakované riešenie
- Žiadne priesečníky x → žiadne skutočné riešenia (komplexné korene)
Kedy použiť: Na vizuálne pochopenie alebo pri použití grafickej kalkulačky. Nepraktické pre presné odpovede.
Výber správnej metódy
| Situácia | Najlepšia metóda |
|---|---|
| Celočíselné koeficienty, vyzerajú ako faktorizovateľné | Najprv faktoring |
| Akékoľvek kvadratické, potrebujete presnú odpoveď | Kvadratický vzorec |
| Pochopenie vrchol/minimum/maximum | Dokončenie námestia |
| Vizuálne pochopenie alebo aproximácia | Vytváranie grafov |
| b² − 4ac < 0 | Kvadratický vzorec (dáva komplexné korene) |
Rýchly prehľad: Bežné vzory
Rozdiel štvorcov: x² − k² = (x + k) (x − k) = 0 → x = ±k
Dokonalý štvorcový trojčlen: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (opakované)
Žiadny stredný člen: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (skutočné iba vtedy, ak c a a majú opačné znamienka)
Súčet a súčin koreňov
Pre ax² + bx + c = 0 s koreňmi r₁ a r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Príklad overenia: x² − 5x + 6 = 0, odmocniny 2 a 3:
- Súčet: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Produkt: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Použite náš riešič kubických rovníc pre rovnice stupňa 3 alebo použite vyššie uvedený kvadratický vzorec pre akúkoľvek štandardnú kvadratickú rovnicu.