Mkengeuko wa kawaida ndio kipimo kinachotumiwa sana cha kuenea katika takwimu. Inakueleza jinsi thamani ya kawaida inavyokaa kutoka kwa wastani - ikiwa data yako imeunganishwa sana au imetawanyika kwa upana. Mara tu unapofanya hesabu kwa mkono mara moja, wazo hilo linakuwa angavu.
Mkengeuko Wa Kawaida Unakuambia Nini
Ikiwa darasa la wanafunzi lina alama za wastani za mtihani wa 70 na mkengeuko wa kawaida wa 5, alama nyingi huanguka kati ya 65 na 75. Ikiwa mkengeuko wa kawaida ungekuwa 20, alama zingetofautiana kwa upana zaidi - kutoka 50 hadi 90 na zaidi.
Mkengeuko mdogo wa kiwango unamaanisha uthabiti. Kubwa inamaanisha kutofautiana.
Idadi ya Watu dhidi ya Sampuli ya Mkengeuko Wastani
Kuna matoleo mawili, na kuchagua moja sahihi ni muhimu:
Mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu (σ): Tumia unapokuwa na data kwa kila mwanakikundi unayemjali. Imegawanywa kwa n.
Mkengeuko wa kawaida wa sampuli: Tumia wakati data yako ni sampuli inayotolewa kutoka kwa idadi kubwa zaidi. Hugawanya kwa n - 1 (Marekebisho ya Bessel, ambayo husababisha kutokuwa na uhakika kuletwa kwa sampuli).
Kwa mazoezi, karibu kila mara unatumia sampuli ya mkengeuko wa kawaida - isipokuwa unachanganua sensa kamili au mkusanyiko wa data unaodhibitiwa bila washiriki wanaokosekana.
Hesabu ya Hatua kwa Hatua
Seti ya data: 4, 7, 13, 2, 1 (sampuli ya thamani 5)
Hatua ya 1: Kokotoa wastani
Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4
Hatua ya 2: Tafuta kila mkengeuko kutoka kwa wastani
Ondoa wastani kutoka kwa kila thamani:
| Thamani (x) | Mkengeuko (x − x̄) |
|---|---|
| 4 | 4 - 5.4 = -1.4 |
| 7 | 7 - 5.4 = +1.6 |
| 13 | 13 - 5.4 = +7.6 |
| 2 | 2 - 5.4 = -3.4 |
| 1 | 1 - 5.4 = -4.4 |
Hatua ya 3: Mraba kila mkengeuko
Squaring huondoa ishara mbaya na inasisitiza upotovu mkubwa:
| Mkengeuko | Mkengeuko wa mraba |
|---|---|
| −1.4 | 1.96 |
| +1.6 | 2.56 |
| +7.6 | 57.76 |
| −3.4 | 11.56 |
| −4.4 | 19.36 |
Hatua ya 4: Hitimisho la mikengeuko ya mraba
Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2
Hatua ya 5: Gawanya kwa n − 1 (kwa sampuli ya mkengeuko wa kawaida)
Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3
Hatua ya 6: Chukua mzizi wa mraba
Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83
Tafsiri: Thamani katika mkusanyiko huu wa data kwa kawaida hukaa takriban vitengo 4.83 kutoka kwa wastani wa 5.4.
Mfumo Umeandikwa
Mkengeuko wa kawaida wa sampuli:
s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]
Mkengeuko wa kiwango cha idadi ya watu:
σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]
Ambapo μ (mu) ni maana ya idadi ya watu.
Kanuni ya Kijamii (68-95-99.7 Rule)
Kwa data inayofuata usambazaji wa kawaida, mkengeuko wa kawaida una uhusiano wa kuaminika na sehemu ya data ndani ya kila safu:
| Masafa | Uwiano wa data |
|---|---|
| Wastani ± 1 SD | ~68% |
| Wastani ± 2 SD | ~95% |
| Wastani ± 3 SD | ~99.7% |
Mfano uliotumika: Alama za IQ zina wastani wa 100 na SD ya 15.
- 68% ya watu wanapata alama kati ya 85 na 115
- 95% alama kati ya 70 na 130
- 99.7% alama kati ya 55 na 145
Sheria hii inatumika tu kwa data inayosambazwa kwa kawaida. Kwa usambazaji uliopinda au wenye mkia mzito, tumia usawa wa Chebyshev badala yake.
Tofauti dhidi ya Mkengeuko wa Kawaida
Tofauti ni mkengeuko wa mraba (hatua ya 5 hapo juu) — mkengeuko wa kawaida ni mzizi wake wa mraba. Vipimo vyote viwili vinaenea, lakini mkengeuko wa kawaida unaonyeshwa katika vitengo sawa na data asili, na kuifanya iweze kufasirika zaidi.
Ikiwa data yako iko katika kilo, mkengeuko wako wa kawaida uko katika kilo. Tofauti yako iko katika kilo-mraba, ambayo ni ngumu kutafsiri kwa maana.
Maombi ya Kawaida
Fedha: Kupima tete ya uwekezaji. Hisa yenye mapato ya kila siku yenye SD ya juu ni tete zaidi - faida ya juu zaidi na uwezekano wa hasara ya juu.
Udhibiti wa ubora: Utengenezaji hutumia SD ili kuhakikisha bidhaa zinasalia ndani ya ustahimilivu. Mchakato ulio na SD ni mkubwa sana hutoa vipengee vingi vyenye kasoro.
Elimu: Kusawazisha alama za mtihani. Alama ya z inakuambia ni mikengeuko mingapi ya kawaida ambayo alama hukaa juu au chini ya wastani: z = (x − maana) / SD.
Sayansi: Inaonyesha kutokuwa na uhakika wa kipimo na kulinganisha matokeo ya majaribio.
Njia ya mkato ya Kuhesabu
Kwa hifadhidata kubwa, tumia fomula ya hesabu ambayo inaepuka kukokotoa mikengeuko mmoja mmoja:
s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)
Hii ni sawa kihisabati lakini inahitaji njia mbili tu kupitia data badala ya tatu.
Tumia Kikokotoo chetu cha Kawaida cha Mkengeuko kukokotoa SD, tofauti na uchanganuzi kamili wa seti yoyote ya data utakayoingiza.