Mkengeuko wa kawaida ndio kipimo kinachotumiwa sana cha kuenea katika takwimu. Inakuambia jinsi maadili yaliyoenea yalivyo karibu na wastani. Mwongozo huu unaielezea kutoka kwa kanuni za kwanza na mifano iliyofanyiwa kazi.
Mkengeuko Wa Kawaida Unakuambia Nini
Wastani hukuambia katikati ya mkusanyiko wa data. Mkengeuko wa kawaida hukuambia jinsi thamani kawaida hupotea kutoka kwa kituo hicho.
Mkengeuko wa kiwango cha chini → thamani zilizoshikana karibu na wastani Mkengeuko wa hali ya juu → thamani huenea sana kutoka kwa wastani
Madarasa mawili ya mitihani yote yana wastani wa 70%, lakini:
- Daraja A: alama za 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1.4 (thabiti sana)
- Daraja B: alama za 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22.4 (zinazobadilika sana)
Sawa maana, usambazaji tofauti sana.
Mfumo
Kuna matoleo mawili kulingana na ikiwa una idadi kamili ya watu au sampuli.
Mkengeuko Wastani wa Idadi ya Watu (σ)
Tumia wakati una data kwa kila mwanachama wa kikundi.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Sampuli ya Mkengeuko Wastani (s)
Tumia wakati data yako ni sampuli kutoka kwa idadi kubwa zaidi (kesi inayojulikana zaidi).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Kiashiria ni n − 1 (si n) kusahihisha upendeleo unaotokana na kukadiria kigezo cha idadi ya watu kutoka kwa sampuli. Hii inaitwa marekebisho ya Bessel.
Hesabu ya Hatua kwa Hatua
Seti ya data: Alama za mtihani kwa wanafunzi 6: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Hatua ya 1: Tafuta maana
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Hatua ya 2: Tafuta kila mkengeuko kutoka kwa wastani
| Alama | Mkengeuko (x − x̄) | Mkengeuko wa mraba |
|---|---|---|
| 72 | -6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | -4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Hatua ya 3: Hitimisho la mikengeuko ya mraba
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Hatua ya 4: Gawanya kwa n − 1 (sampuli)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Hatua ya 5: Chukua mizizi ya mraba
s = √(74.67) = 8.64
Mkengeuko wa kawaida ni pointi 8.64. Alama ya kawaida ya mwanafunzi ni kama pointi 8-9 kutoka wastani wa darasa.
Kanuni ya 68-95-99.7
Kwa data inayosambazwa kwa kawaida (kengele ya kengele), mkengeuko wa kawaida una uhusiano unaotabirika na uenezi:
- 68% ya thamani iko ndani ya 1 SD ya wastani
- 95% ya thamani iko ndani ya 2 SD ya wastani
- 99.7% ya thamani iko ndani ya 3 SD ya wastani
Inatumika kwa mfano wetu (maana = 78.33, SD = 8.64):
- 68% ya alama: 78.33 ± 8.64 → 69.7 hadi 86.97
- 95% ya alama: 78.33 ± 17.28 → 61.05 hadi 95.61
- 99.7% ya alama: 78.33 ± 25.92 → 52.41 hadi 104.25
Tofauti dhidi ya Mkengeuko wa Kawaida
Tofauti ni mkengeuko wa kawaida wa mraba: s² = 74.67 katika mfano wetu.
Kwa nini utumie kupotoka kwa kawaida badala ya tofauti?
- Mkengeuko wa kawaida uko katika vitengo sawa na data yako (pointi, dola, mita)
- Tofauti iko katika vizio vya mraba - ngumu zaidi kutafsiri kivitendo
- "Alama ya wastani iliyopunguzwa kwa pointi 8.64" ina maana; "tofauti ilikuwa 74.67 pointi²" sio
Matumizi ya Ulimwengu Halisi
Fedha: Hisa yenye mapato ya kila siku ya wastani ya 0.05% na SD ya 1.2% ni hatari zaidi kuliko ile yenye faida ya wastani sawa na SD ya 0.3%. Mkengeuko wa kawaida ndio msingi wa kipimo cha tete.
Utengenezaji: Kiwanda kinachozalisha boli na kipenyo kinacholengwa cha 10mm na SD cha 0.02mm kinalingana zaidi kuliko kilicho na SD ya 0.5mm. Udhibiti wa ubora unategemea SD.
Dawa: Majaribio ya kimatibabu yanaripoti SD pamoja na njia za kuonyesha jinsi matibabu yalivyofanya kazi kwa wagonjwa wote.
Hali ya hewa: "Wastani wa halijoto 18°C na SD 4°C" hukueleza zaidi ya wastani peke yako — unajua unachopakia.
Alama Z
Alama ya z hubadilisha thamani yoyote kuwa vitengo vya mchepuko wa kawaida, kuwezesha ulinganisho katika seti tofauti za data:
z = /x - x̄s
Mwanafunzi akifunga 91 katika mfano wetu:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Alama hii ni mikengeuko ya kawaida ya 1.47 juu ya wastani - bora kuliko takriban 93% ya darasa.
Hesabu Mkengeuko Kawaida Sasa
Kikokotoo chetu cha takwimu hukokotoa mkengeuko wa kawaida, tofauti, wastani, wastani, hali na zaidi kutoka kwa mkusanyiko wowote wa data utakaoweka. Bandika nambari zako na upate matokeo kamili papo hapo.