Якщо ви коли-небудь отримували іншу відповідь на математичну задачу, ніж хтось інший — і ви обидва були впевнені, що праві — винуватцем майже напевно є порядок операцій.

Порядок операцій — це набір правил, які вказують, яку частину математичного виразу обчислювати першою. Без цих правил той самий вираз міг би дати різні відповіді залежно від того, хто його розв’язує.

Що таке PEMDAS / BODMAS?

PEMDAS (використовується в США) і BODMAS (використовується у Великій Британії, Індії та Австралії) є акронімами для того самого набору правил, але з дещо іншим формулюванням.

ПЕМДАС БОДМАС
Пдужки Bракетки
Exponents Oордени (повноваження та корені)
Ммноження Ddivision
Ddivision Ммноження
**Доповнення **Доповнення
Sвіднімання Sвіднімання

Порядок такий: Дужки → Степені → Ділення/Множення → Додавання/Віднімання

Примітка: ділення та множення мають однаковий пріоритет (зліва направо). Додавання і віднімання мають однаковий пріоритет (зліва направо).

Навіщо нам ці правила?

Без узгодженого порядку вираз CODE0 був би неоднозначним:

  • Якщо спочатку додати: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
  • Якщо ви спочатку помножите: 2 + (3 × 4) = 2 + 12 = 14

Згідно з узгодженими правилами, множення передує додаванню, тому правильною відповіддю є 14.

Пояснення правил

1. Спершу дужки / круглі дужки

Завжди вирішуйте все, що всередині дужок, перш ніж будь-що інше.

(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14

Вкладені дужки: працюйте зсередини назовні.

2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12

2. Степені / Порядки (Ступені та корені)

Після дужок обчисліть будь-які степені або квадратні корені.

2 + 3² = 2 + 9 = 11

4 × √16 = 4 × 4 = 16

3. Множення та ділення (зліва направо)

Ці дві операції мають однаковий пріоритет. Коли вони з’являються разом, працюйте зліва направо.

12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9    ✓ (left to right)
12 ÷ 4 × 3 ≠ 12 ÷ 12 = 1  ✗ (doing × before ÷ is wrong)

4. Додавання та віднімання (зліва направо)

Той самий принцип — рівний пріоритет, робота зліва направо.

10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9    ✓
10 − 3 + 2 ≠ 10 − 5 = 5   ✗

Спрацьовані приклади

Приклад 1: Базовий

8 + 2 × 5 − 3
= 8 + 10 − 3        (multiplication first)
= 18 − 3            (left to right)
= 15

Приклад 2: з дужками

(8 + 2) × (5 − 3)
= 10 × 2            (brackets first)
= 20

Приклад 3: зі степенями

3 + 4² ÷ 2
= 3 + 16 ÷ 2        (exponent first)
= 3 + 8             (division before addition)
= 11

Приклад 4: Складний

5 × (2 + 3)² − 10 ÷ 2
= 5 × 5² − 10 ÷ 2   (brackets first)
= 5 × 25 − 10 ÷ 2   (exponent)
= 125 − 5           (× and ÷ left to right)
= 120

Приклад 5: класична вірусна проблема

CODE0 — цей вислів регулярно стає вірусним, тому що люди розходяться у відповіді.

Step 1: Bracket → 1 + 2 = 3
Step 2: Expression becomes 6 ÷ 2 × 3
Step 3: Left to right → 6 ÷ 2 = 3, then 3 × 3 = 9

Відповідь 9. Плутанина виникає через те, що деякі люди розглядають CODE0 як єдиний термін. У стандартній математичній угоді ділення та множення мають однаковий пріоритет і обчислюються зліва направо.

Практичні завдання

Перш ніж перевіряти відповіді, спробуйте:

  1. КОД0
  2. КОД0
  3. КОД0
  4. КОД0
  5. КОД0

Відповіді:

  1. 3 + 8 = 11
  2. 7 × 2 = 14
  3. 8 + 12 − 5 = 15
  4. 20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16
  5. 6 + 2 × 9 − 2 = 6 + 18 − 2 = 22

Поширені помилки

Розгляд множення перед діленням як суворе правило — Множення та ділення мають однаковий пріоритет. Завжди працюйте зліва направо, коли обидва з’являються разом.

Забули працювати з вкладеними дужками навиворіт — спочатку розв’яжіть внутрішні дужки.

Застосування степеня до неправильної частини — у CODE0 експонента застосовується лише до 3, що дає вам -(9) = -9, а не (-3)² = 9. Використовуйте дужки: CODE1, якщо ви хочете звести від’ємне число у квадрат.

Ігнорування неявного множення — CODE0 означає CODE1. Він дотримується тих самих правил, що й явне множення.

Чому BODMAS і PEMDAS дають однакову відповідь

Незважаючи на різні назви, обидва абревіатури описують однаковий пріоритет. У BODMAS «DM» означає ділення та множення разом (рівний пріоритет). У PEMDAS "MD" так само позначає множення та ділення разом. Порядок абревіатури не означає, що множення передує діленню — вони рівні.

Коротка довідкова картка

Пріоритет Операція приклад
1-й Дужки / круглі дужки (3 + 4)
2-й Експоненти / Ордени 2³, √9
3-й= Множення 4 × 5
3-й= Поділ 20 ÷ 4
4-й= Доповнення 7 + 3
4-й= Віднімання 10 − 4

Читати далі