دائرے کا دائرہ اور رقبہ — فارمولے اور کام کی مثالیں۔

حلقے ہر جگہ نظر آتے ہیں — پہیے، پائپ، سرکلر روم، پیزا، سیارے۔ دو پیمائشیں ہر دائرے کی مکمل وضاحت کرتی ہیں: فریم (کنارے کے ارد گرد کا فاصلہ) اور رقبہ (اندر کی جگہ)۔ دونوں ایک ہی قدر سے براہ راست فالو کرتے ہیں: رداس۔

کلیدی شرائط

Radius (r): دائرے کے مرکز سے اس کے کنارے پر کسی بھی نقطہ تک کا فاصلہ۔ یہ بنیادی پیمائش ہے — تمام دائرے کے فارمولے اسے استعمال کرتے ہیں۔

قطر (d): مرکز سے دائرے میں فاصلہ۔ رداس سے ہمیشہ بالکل دوگنا: d = 2r۔

دائرہ (C): دائرے کا دائرہ — بیرونی کنارے کے گرد کل فاصلہ۔

رقبہ (A): دائرے سے بند دو جہتی جگہ کی مقدار۔

π (pi): کسی بھی دائرے کے فریم کا اس کے قطر کا تناسب۔ یہ غیر معقول ہے (کبھی نہ ختم ہونے والا، کبھی نہ دہرانے والا) اور تقریباً 3.14159265 کے برابر ہے۔

طواف کا فارمولا

C = 2πr    or equivalently    C = πd

مثال: ایک دائرہ جس کا رداس 5 سینٹی میٹر ہے۔

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm

قطر کے لحاظ سے: اگر قطر براہ راست دیا جائے:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 cm

دونوں ایک ہی جواب دیتے ہیں - آپ کے پاس جو بھی پیمائش ہے اسے منتخب کریں۔

رقبہ کا فارمولا

A = πr²

مثال: وہی دائرہ جس کا رداس 5 سینٹی میٹر ہے۔

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²

نوٹ: رقبہ ہمیشہ مربع اکائیوں میں ہوتا ہے (cm², m², in²)۔ طواف لکیری اکائیوں میں ہے (سینٹی میٹر، ایم، میں)۔

دائرہ یا علاقے سے پیچھے کی طرف کام کرنا

کبھی کبھی آپ کو فریم یا رقبہ معلوم ہوتا ہے اور آپ کو رداس تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔

فریم سے رداس:

r = C / (2π)

علاقے سے رداس:

r = √(A / π)

فریم سے قطر:

d = C / π

مثال: ایک سرکلر فیلڈ کا فریم 150 میٹر ہے۔ اس کا علاقہ کیا ہے؟

مرحلہ 1: رداس تلاش کریں۔

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 m

مرحلہ 2: علاقہ تلاش کریں۔

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 m²

عام کام کی مثالیں۔

سرکلر پائپ کراس سیکشن

ایک پائپ کا اندرونی قطر 40 ملی میٹر ہے۔ کراس سیکشنل ایریا کیا ہے؟

r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 mm²

یہ بہاؤ کی شرح کے حساب کتاب کے لیے اہمیت رکھتا ہے — علاقہ اس بات کا تعین کرتا ہے کہ کتنا سیال گزر سکتا ہے۔

رننگ ٹریک

ایک سرکلر رننگ ٹریک کا رداس 40 میٹر ہوتا ہے۔ ایک گود کتنی دور ہے؟

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 m

(معیاری 400 میٹر ٹریک دراصل بیضوی ہیں، سرکلر نہیں — لیکن یہ اصول کو ظاہر کرتا ہے۔)

پیزا سائز کا موازنہ

کیا 14 انچ کے پیزا کی قیمت دو 10 انچ کے پیزا سے زیادہ ہے؟

14 انچ پیزا:

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 in²

دو 10 انچ پیزا:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 in²

دو 10 انچ پیزا بہت تھوڑا زیادہ پیزا دیتے ہیں - لیکن صرف اس صورت میں جب قیمت موازنہ ہو۔

سیکٹر اور آرکس

ایک سیکٹر دائرے کا ایک "ٹکڑا" ہے (جیسے پائی سلائس)، جس کی وضاحت مرکزی زاویہ θ سے ہوتی ہے۔

قوس کی لمبائی (سیکٹر کا مڑا ہوا کنارہ):

Arc = (θ / 360) × 2πr    [degrees]
Arc = θr                   [radians]

سیکٹر ایریا:

Sector area = (θ / 360) × πr²    [degrees]
Sector area = ½r²θ               [radians]

مثال: سیکٹر جس کا رداس 8 سینٹی میٹر اور مرکزی زاویہ 45° ہے۔

Arc length = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 cm
Sector area = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 cm²

اینولس (انگوٹھی کی شکل)

ایک اینولس دو مرتکز دائروں کے درمیان کا خطہ ہے جس میں radii R (بیرونی) اور r (اندرونی) ہے۔

Annulus area = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

مثال: بیرونی رداس 10 میٹر اور اندرونی رداس 7 میٹر کے ساتھ ایک سرکلر بارڈر:

Area = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 m²

فارمولوں کا خلاصہ

پیمائش	فارمولا
طواف	C = 2πr = πd
علاقہ	A = πr²
رداس C سے	r = C / (2π)
A سے رداس	r = √(A/π)
قوس کی لمبائی (ڈگری)	قوس = (θ/360) × 2πr
سیکٹر ایریا (ڈگری)	A = (θ/360) × πr²
اینولس ایریا	A = π(R² − r²)

کسی بھی دائرے کی پیمائش کی گنتی کرنے کے لیے ہمارا سرکل کیلکولیٹر استعمال کریں — کوئی ایک قدر درج کریں اور باقی سب کو فوری طور پر حاصل کریں۔