Pythagorean theorem تمام ریاضی کے سب سے مشہور نتائج میں سے ایک ہے - ایک لائن میں بیان کرنے کے لیے کافی آسان، 370 سے زیادہ معلوم ثبوتوں کے لیے کافی گہرا ہے۔ یہاں وہ سب کچھ ہے جو آپ کو جاننے کی ضرورت ہے، فارمولے سے لے کر عملی ایپلی کیشنز تک۔
فارمولا
کسی بھی دائیں مثلث کے لیے (ایک مثلث جس کا 90° زاویہ ہے):
a^2 + b^2 = c^2
جہاں a اور b دو ٹانگیں ہیں (وہ اطراف جو صحیح زاویہ بناتے ہیں) اور c فرضی (دائیں زاویہ کے مخالف سمت — ہمیشہ سب سے لمبی طرف) ہے۔
ہر طرف تلاش کرنا
** hypotenuse (c):** تلاش کرنا
c = √(a^2 + b^2)
** ٹانگ تلاش کرنا (a):**
a = √(c^2 - b^2)
دوسری ٹانگ کو تلاش کرنا (b):
b = √(c^2 - a^2)
کام کی مثالیں۔
مثال 1: دائیں مثلث کی ٹانگیں 3 سینٹی میٹر اور 4 سینٹی میٹر ہوتی ہیں۔ hypotenuse تلاش کریں۔
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 سینٹی میٹر
مثال 2: ایک 10 میٹر لمبی سیڑھی دیوار سے ٹیکتی ہے، جس کی بنیاد دیوار سے 4 میٹر ہے۔ یہ کتنی بلندی تک پہنچتا ہے؟
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 میٹر
پائتھاگورین ٹرپلز
پائتھاگورین ٹرپل تین مکمل نمبروں کا مجموعہ ہے جو a² + b² = c² کو پورا کرتا ہے۔ یہ اکثر مسائل میں آتے ہیں اور یاد رکھنے کے قابل ہیں:
| a | ب | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
ٹرپل کا کوئی بھی ملٹیپل بھی ٹرپل ہے: (6، 8، 10)، (9، 12، 15)، (15، 20، 25) سبھی کام کرتے ہیں۔
ایک سادہ سا ثبوت
سب سے خوبصورت ثبوت علاقوں کا استعمال کرتا ہے. سائیڈ (a + b) کے ساتھ ایک بڑا مربع کھینچیں۔ اس کے اندر، ٹانگوں a اور b کے ساتھ دائیں مثلث کی چار کاپیاں ترتیب دیں۔
چار مثلث رقبہ 4 × (½ab) = 2ab لیتے ہیں۔ بڑے مربع میں بقیہ جگہ c² (ہائپوٹینوز پر مربع) ہونی چاہیے۔
بڑے مربع کا رقبہ (a + b)² = a² + 2ab + b² ہے۔
تو: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
لہذا: a² + b² = c²
حقیقی دنیا کی ایپلی کیشنز
تعمیرات اور کارپینٹری
"3-4-5 اصول" ہر روز تعمیراتی مقامات پر استعمال کیا جاتا ہے تاکہ یہ چیک کیا جا سکے کہ کونے بالکل مربع ہیں۔ ایک دیوار کے ساتھ 3 یونٹس، ملحقہ دیوار کے ساتھ 4 یونٹس کی پیمائش کریں، پھر چیک کریں کہ اخترن بالکل 5 یونٹوں کی پیمائش کرتا ہے۔ اگر ایسا ہوتا ہے تو زاویہ بالکل 90° ہے۔
نیویگیشن
GPS سے پہلے، نیویگیٹرز مسلسل تھیوریم کا استعمال کرتے تھے۔ اگر آپ 30 کلومیٹر مشرق کا سفر کرتے ہیں تو 40 کلومیٹر شمال، شروع سے آپ کی سیدھی لائن کا فاصلہ √(30² + 40²) = √2500 = 50 کلومیٹر ہے۔
جدید GPS نظام نقاط کے درمیان فاصلوں کا حساب لگانے کے لیے تھیوریم کی 3D توسیع کا استعمال کرتے ہیں۔
اسکرین کے سائز
ایک "65 انچ ٹی وی" میں 65 انچ کی ترچھی اسکرین کی پیمائش ہوتی ہے۔ اگر آپ پہلو کا تناسب (16:9) جانتے ہیں، تو آپ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے درست چوڑائی اور اونچائی تلاش کر سکتے ہیں۔ 65" 16:9 اسکرین کے لیے: چوڑائی ≈ 56.7"، اونچائی ≈ 31.9"۔
انجینئرنگ اور فزکس
نظریہ ساختی انجینئرنگ (لوڈ بیئرنگ اخترنوں کا حساب لگانا)، کمپیوٹر گرافکس (3D مناظر پیش کرنا)، اور طبیعیات (نتیجے میں آنے والے ویکٹرز کا حساب لگانا — دائیں زاویوں پر دو قوتوں کا مشترکہ اثر) میں بنیادی ہے۔
تھری ڈی ایکسٹینشن: فاصلہ فارمولا
پائتھاگورین تھیوریم قدرتی طور پر تین جہتوں تک پھیلا ہوا ہے:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
یہ کمپیوٹر گرافکس، فزکس سمولیشنز، GPS کیلکولیشنز، اور 3D کوآرڈینیٹ کے ساتھ کام کرنے والے کسی بھی سسٹم میں استعمال ہوتا ہے۔
اب پائیتھاگورین تھیوریم کا حساب لگائیں۔
دوسرے دو کو دیئے گئے دائیں مثلث کا کوئی بھی رخ تلاش کرنے کے لیے ہمارا مفت کیلکولیٹر استعمال کریں۔ کوئی بھی دو اطراف داخل کریں اور مرحلہ وار کام کرنے کے ساتھ فوری طور پر تیسرا حاصل کریں۔