ایک کیوبک مساوات ڈگری 3 کا کثیر الجہتی ہے، جس کی عمومی شکل ax³ + bx² + cx + d = 0 ہوتی ہے۔ چوکور مساوات کے برعکس، کیوبک مساوات میں 1، 2، یا 3 حقیقی حل ہو سکتے ہیں اور اس میں ایک سادہ بند فارمولہ نہیں ہوتا ہے جسے زیادہ تر لوگ اسکول میں سیکھتے ہیں۔ تاہم، وہ کارڈانو کے فارمولے یا عددی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے قابل حل ہیں۔
عام شکل
ax³ + bx² + cx + d = 0
جہاں a ≠ 0 (بصورت دیگر یہ کیوبک نہیں ہے)۔ مساوات ہو سکتی ہے:
- 3 الگ الگ اصلی جڑیں۔
- 1 اصلی جڑ اور 2 پیچیدہ جڑیں۔
- ایک بار بار جڑ (جب امتیاز صفر کے برابر ہو)
کارڈانو کا فارمولا
کارڈانو کے فارمولے کو استعمال کرنے کے لیے، پہلے x = t - b/(3a) کی جگہ لے کر کیوبک کو دبائیں (x² کی اصطلاح کو ختم کریں):
t³ + pt + q = 0
پھر جڑیں ایک پیچیدہ فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے پائی جاتی ہیں جس میں امتیاز شامل ہوتا ہے:
Δ = -4p³ - 27q²
اگر Δ > 0: تین الگ الگ اصلی جڑیں۔ اگر Δ = 0: کم از کم دو مساوی اصلی جڑیں۔ اگر Δ <0: ایک اصلی جڑ اور دو پیچیدہ جڑیں۔
کام کی مثال
حل کریں x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
معائنہ یا آزمائش کے ذریعے، ہم چھوٹے عدد کو جانچ سکتے ہیں۔ ٹیسٹنگ x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
تو x = 1 ایک جڑ ہے۔ فیکٹرنگ آؤٹ (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
تین جڑیں x = 1، 2، 3 ہیں۔
فیکٹرنگ کے بغیر جڑیں تلاش کرنا
کیوبک مساوات کے لیے جو اچھی طرح سے عامل نہیں ہیں، استعمال کریں:
- کارڈانو کا فارمولا (الجبری طور پر بالکل درست لیکن پیچیدہ)
- عددی طریقے جیسے نیوٹن-رافسن (دوبارہ، ایک وقت میں ایک جڑ تلاش کرتا ہے)
- جڑوں کا تخمینہ لگانے اور نیوٹن-ریفسن کے ساتھ بہتر بنانے کے لیے گرافنگ
درخواستیں
کیوبک مساوات اس میں ظاہر ہوتی ہیں:
- انجینئرنگ (تناؤ تناؤ کا تجزیہ، سیال حرکیات)
- طبیعیات (مزاحمتی میڈیم میں پروجیکٹائل موشن، کیوبک میٹریل)
- معاشیات (اصلاح کے مسائل، پیداواری لاگت کے منحنی خطوط)
- کمپیوٹر گرافکس (کیوبک بیزیئر منحنی خطوط)
تجاویز
اگر آپ کو عقلی جڑوں پر شبہ ہے تو عقلی جڑ کا نظریہ استعمال کریں: کسی بھی عقلی جڑ p/q میں p تقسیم d اور q تقسیم a ہوتا ہے۔ یہ آپ کے امتحانی امیدواروں کو نمایاں طور پر تنگ کرتا ہے۔ ہمیشہ متبادل کے ذریعہ جڑوں کی تصدیق کریں۔
تمام جڑوں کو فوری طور پر تلاش کرنے کے لیے ہمارا کیوبک ایکویشن سولور استعمال کریں، چاہے اصلی ہو یا پیچیدہ۔