تغیر پیمائش کرتا ہے کہ اعداد کا ایک سیٹ ان کے وسط سے کس طرح پھیلا ہوا ہے۔ یہ شماریات میں سب سے اہم تصورات میں سے ایک ہے — سرمایہ کاری کے خطرے کی پیمائش کرنے کے لیے فنانس میں، سائنس میں تجرباتی مستقل مزاجی کا اندازہ لگانے کے لیے، اور روزمرہ ڈیٹا کے تجزیے میں۔

تغیر کیا ہے؟

تغیر وسط سے مربع فرق کی اوسط ہے۔ کم تغیر کا مطلب ہے کہ ڈیٹا پوائنٹس اوسط کے ارد گرد مضبوطی سے کلسٹر ہوتے ہیں۔ ایک اعلی تغیر کا مطلب ہے کہ وہ بڑے پیمانے پر پھیلے ہوئے ہیں۔

دو قسمیں ہیں:

  • آبادی کا تغیر (σ²) — استعمال کیا جاتا ہے جب آپ کے پاس پوری آبادی کا ڈیٹا ہو۔
  • نمونہ تغیر (s²) — استعمال کیا جاتا ہے جب آپ کا ڈیٹا بڑی آبادی کا نمونہ ہو۔

عملی طور پر، آپ تقریباً ہمیشہ نمونے کے تغیر کا استعمال کریں گے۔

تغیر کا فارمولا

آبادی کا فرق

σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N

کہاں:

  • xᵢ = ہر ڈیٹا پوائنٹ
  • μ = آبادی کا مطلب
  • N = ڈیٹا پوائنٹس کی تعداد

نمونہ تغیر

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)

کہاں:

  • x̄ = نمونہ کا مطلب
  • n - 1 = آزادی کی ڈگری (بیسل کی اصلاح)

نمونے کے تغیر میں CODE0 اس حقیقت کو درست کرتا ہے کہ نمونہ آبادی کے حقیقی پھیلاؤ کو کم سمجھتا ہے۔

مرحلہ وار مثال

ڈیٹا سیٹ: 4، 8، 6، 5، 3، 2، 8، 9، 2، 5

مرحلہ 1: اوسط کا حساب لگائیں

Mean = (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 2 + 8 + 9 + 2 + 5) / 10
     = 52 / 10
     = 5.2

مرحلہ 2: ہر قدر سے اوسط کو گھٹائیں اور نتیجہ کو مربع کریں

قدر قدر - مطلب (قدر - اوسط)²
4 4 − 5.2 = −1.2 1.44
8 8 − 5.2 = 2.8 7.84
6 6 − 5.2 = 0.8 0.64
5 5 − 5.2 = −0.2 0.04
3 3 − 5.2 = −2.2 4.84
2 2 − 5.2 = −3.2 10.24
8 8 − 5.2 = 2.8 7.84
9 9 − 5.2 = 3.8 14.44
2 2 − 5.2 = −3.2 10.24
5 5 − 5.2 = −0.2 0.04

مرحلہ 3: مربع فرق کو جمع کریں

Σ(xᵢ − x̄)² = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 + 10.24 + 7.84 + 14.44 + 10.24 + 0.04
             = 57.6

مرحلہ 4: n − 1 سے تقسیم کریں (نمونہ تغیر)

s² = 57.6 / (10 − 1) = 57.6 / 9 = 6.4

نمونے کا فرق 6.4 ہے۔

تغیر بمقابلہ معیاری انحراف

معیاری انحراف محض تغیر کا مربع جڑ ہے:

s = √s² = √6.4 ≈ 2.53

معیاری انحراف کا اظہار انہی اکائیوں میں کیا جاتا ہے جس میں اصل ڈیٹا ہوتا ہے، جس سے تشریح کرنا آسان ہو جاتا ہے۔ اگر آپ کا ڈیٹا کلوگرام میں ہے تو معیاری انحراف کلوگرام میں ہے۔ تغیر کلوگرام² میں ہے۔ یہی وجہ ہے کہ معیاری انحراف زیادہ عام طور پر رپورٹ کیا جاتا ہے — لیکن متعدد شماریاتی حسابات میں تغیر استعمال کیا جاتا ہے۔

آبادی بمقابلہ نمونہ: ہر ایک کو کب استعمال کرنا ہے۔

صورتحال استعمال کریں۔
آپ کے پاس گروپ کے ہر ممبر کا ڈیٹا ہے۔ آبادی کا فرق (÷ N)
آپ کا ڈیٹا ایک بڑے گروپ کا نمونہ ہے۔ نمونہ تغیر (÷ n − 1)
دوسرے شماریاتی ٹیسٹوں سے موازنہ کرنا عام طور پر نمونہ کا تغیر
آپ کا ڈیٹاسیٹ مکمل تصویر ہے۔ آبادی کا فرق

جب شک ہو تو نمونے کی تبدیلی کا استعمال کریں۔ زیادہ تر حقیقی دنیا کے ڈیٹاسیٹس نمونے ہوتے ہیں۔

ہم اختلاف کیوں کرتے ہیں۔

آپ حیران ہو سکتے ہیں: کیوں نہ صرف اوسط سے خام فرق کو اوسط کریں؟

مسئلہ یہ ہے کہ مثبت اور منفی انحرافات ختم ہو جاتے ہیں۔ مندرجہ بالا ڈیٹاسیٹ کے لیے، کچھ قدریں اوسط سے اوپر ہیں اور کچھ نیچے ہیں۔ اگر آپ ان سب کو بغیر مربع کے جوڑ دیتے ہیں تو آپ کو ہمیشہ صفر ملتا ہے۔

اسکوائرنگ منفی علامات کو دور کرتی ہے، لہذا تمام انحرافات مجموعی پھیلاؤ میں مثبت کردار ادا کرتے ہیں۔

عملی ایپلی کیشنز

فنانس: پورٹ فولیو میں تغیر سرمایہ کاری کے خطرے کی پیمائش کرتا ہے۔ 0.04 کے تغیر کے ساتھ ایک پورٹ فولیو 0.16 کے تغیر کے ساتھ ایک سے کم خطرناک ہے — چاہے دونوں کی ایک ہی متوقع واپسی ہو۔

کوالٹی کنٹرول: کم تغیر کے ساتھ مینوفیکچرنگ کا عمل زیادہ مستقل پیداوار پیدا کرتا ہے۔ اعلی تغیر کا مطلب ہے غیر متوقع نتائج۔

سائنس: تجربات میں، بار بار کی جانے والی پیمائشوں کے درمیان زیادہ فرق پیمائش کی غلطی یا بے قابو متغیرات کی تجویز کرتا ہے۔

کھیلوں کے تجزیات: کھلاڑی کی کارکردگی کا فرق آپ کو بتاتا ہے کہ آیا کوئی کھلاڑی مستقل (کم تغیر) ہے یا لکیر والا (زیادہ تغیر)۔

عام غلطیاں

نمونوں کے لیے n −1 کی بجائے N کا استعمال کرنا — یہ آبادی کے حقیقی تغیر کو کم کرتا ہے۔ نمونے کے ڈیٹا کے لیے ہمیشہ n − 1 استعمال کریں۔

مربع کو بھولنا — ایک عام غلطی مربع فرق کے بجائے خام فرقوں کا اوسط نکالنا ہے۔

رینج کے ساتھ مبہم تغیر — حد صرف زیادہ سے زیادہ مائنس کم از کم ہے۔ تغیرات تمام ڈیٹا پوائنٹس کے لیے اکاؤنٹس ہیں، نہ صرف انتہا۔

فوری حوالہ

فارمولا کب استعمال کرنا ہے۔
CODE0 پوری آبادی
CODE0 آبادی سے نمونہ
CODE0 معیاری انحراف حاصل کرنے کے لیے

اگلا پڑھیں