GCD et LCM sont des concepts fondamentaux de la théorie des nombres utilisés pour simplifier des fractions, résoudre des équations et planifier des problèmes. Voici chaque méthode expliquée clairement.
Définitions
PGCD (Greatest Common Divisor) — également appelé GCF (Greatest Common Factor) ou HCF (Highest Common Factor) — est le plus grand entier positif qui divise les deux nombres sans reste.
LCM (Least Common Multiple) est le plus petit entier positif divisible par les deux nombres.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
Cette relation signifie qu’une fois que vous en avez trouvé un, vous pouvez calculer l’autre :
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
Méthode 1 : Factorisation première
Idéal pour : Compréhension, nombres plus petits, plusieurs nombres à la fois.
Étapes pour GCD :
- Factorisez chaque nombre en premier
- Trouver des facteurs premiers communs
- Multipliez les puissances les plus basses des facteurs communs
Étapes pour LCM :
- Factorisez chaque nombre en premier
- Multipliez les puissances les plus élevées de tous les facteurs premiers
Exemple : GCD et LCM de 36 et 48
Factoriser en premier :
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
PGCD : Les facteurs communs sont 2 et 3. Prenez les puissances les plus faibles :
- PGCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM : Tous les facteurs. Prenez les pouvoirs les plus élevés :
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
Vérifiez : 36 × 48 = 1 728 = 12 × 144 ✓
Méthode 2 : L'algorithme euclidien (PGCD)
Idéal pour : Des nombres plus grands – beaucoup plus rapide que la factorisation.
L'idée clé : GCD(a, b) = GCD(b, a mod b), en répétant jusqu'à ce que le reste soit 0.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
Exemple : PGCD(252, 105)
| Étape | un | b | r = un mod b |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
PGCD = 21 (dernier reste non nul)
Exemple : PGCD(1071, 462)
| Étape | un | b | r |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
PGCD = 21
Méthode 3 : Méthode Division/Échelle
Idéal pour : Les apprenants visuels, trouvant simultanément GCD et LCM.
Divisez les deux nombres par leur plus petit facteur premier commun à plusieurs reprises :
Exemple : GCD et LCM de 12 et 18
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
PGCD = produit des diviseurs utilisés = 2 × 3 = 6 LCM = produit des diviseurs × nombres restants = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
LCM pour plus de deux numéros
Exemple : LCM(4, 6, 10)
Factoriser en premier :
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
Prenez la puissance la plus élevée de chaque nombre premier : 2² × 3 × 5 = 60
Vérifier : 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓
Applications du monde réel
Fractions simplificatrices : Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
- 24/36 : PGCD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
Ajout de fractions avec différents dénominateurs : Trouvez le LCM des dénominateurs.
- 1/4 + 1/6 : LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
Problèmes d'horaire : "Deux bus partent en même temps. L'un circule toutes les 12 minutes, l'autre toutes les 18 minutes. Quand repartent-ils ensemble ?"
- LCM(12, 18) = 36 → toutes les 36 minutes
Matériaux de coupe : "Une planche mesure 36 cm, une autre 48 cm. Quelle est la pièce la plus longue de même longueur que vous puissiez couper dans les deux sans gaspillage ?"
- PGCD(36, 48) = 12 cm
Contrôles mentaux rapides
PGCD est toujours ≤ le plus petit nombre LCM est toujours ≥ le plus grand nombre Si GCD(a,b) = 1, les nombres sont premiers entre eux — LCM(a,b) = a × b
Exemple : PGCD(7, 13) = 1 (tous deux premiers, pas de facteurs communs) → LCM = 7 × 13 = 91