GCD અને LCM એ ફાઉન્ડેશનલ નંબર થિયરી કન્સેપ્ટ છે જેનો ઉપયોગ અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવા, સમીકરણો ઉકેલવા અને શેડ્યુલિંગ સમસ્યાઓમાં થાય છે. અહીં દરેક પદ્ધતિ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવામાં આવી છે.
વ્યાખ્યાઓ
GCD (ગ્રેટેસ્ટ કોમન ડિવાઈઝર) — જેને GCF (ગ્રેટેસ્ટ કૉમન ફેક્ટર) અથવા HCF (હાઈએસ્ટ કૉમન ફેક્ટર) પણ કહેવાય છે — એ સૌથી મોટો સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓને શેષ વિના વિભાજિત કરે છે.
LCM (ઓછામાં ઓછા સામાન્ય બહુવિધ) એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજ્ય છે.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
આ સંબંધનો અર્થ છે કે એકવાર તમે એક શોધી લો, તમે બીજાની ગણતરી કરી શકો છો:
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
પદ્ધતિ 1: પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝેશન
આ માટે શ્રેષ્ઠ: સમજણ, નાની સંખ્યાઓ, એકસાથે અનેક સંખ્યાઓ.
GCD માટેનાં પગલાં:
- દરેક સંખ્યાને પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝ કરો
- સામાન્ય મુખ્ય પરિબળો શોધો
- સામાન્ય પરિબળોની નીચલી શક્તિઓ નો ગુણાકાર કરો
એલસીએમ માટેનાં પગલાં:
- દરેક સંખ્યાને પ્રાઇમ ફેક્ટરાઇઝ કરો
- તમામ મુખ્ય પરિબળોની ઉચ્ચતમ શક્તિઓનો ગુણાકાર કરો
ઉદાહરણ: 36 અને 48 ના GCD અને LCM
મુખ્ય પરિબળ:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
GCD: સામાન્ય પરિબળ 2 અને 3 છે. સૌથી ઓછી શક્તિઓ લો:
- GCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: તમામ પરિબળો. ઉચ્ચતમ શક્તિઓ લો:
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
ચકાસો: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✓
પદ્ધતિ 2: યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમ (GCD)
આ માટે શ્રેષ્ઠ: મોટી સંખ્યાઓ — ફેક્ટરાઇઝેશન કરતાં ઘણી ઝડપી.
મુખ્ય આંતરદૃષ્ટિ: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b), જ્યાં સુધી બાકીનું 0 ન થાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તન.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
ઉદાહરણ: GCD(252, 105)
| પગલું | a | b | r = a મોડ b |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
GCD = 21 (છેલ્લું બિન-શૂન્ય શેષ)
ઉદાહરણ: GCD(1071, 462)
| પગલું | a | b | આર |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
GCD = 21
પદ્ધતિ 3: વિભાજન/નિસરણી પદ્ધતિ
આ માટે શ્રેષ્ઠ: વિઝ્યુઅલ લર્નર્સ, GCD અને LCM બંનેને એકસાથે શોધે છે.
બંને સંખ્યાઓને તેમના સૌથી નાના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ દ્વારા વારંવાર વિભાજીત કરો:
ઉદાહરણ: 12 અને 18 ના GCD અને LCM
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
GCD = વપરાયેલ વિભાજકોનું ઉત્પાદન = 2 × 3 = 6 LCM = વિભાજકોનું ઉત્પાદન × બાકી સંખ્યાઓ = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
બે કરતા વધુ નંબરો માટે LCM
ઉદાહરણ: LCM(4, 6, 10)
મુખ્ય પરિબળ:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
દરેક પ્રાઇમની સૌથી વધુ શક્તિ લો: 2² × 3 × 5 = 60
ચકાસો: 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓
વાસ્તવિક-વિશ્વ એપ્લિકેશનો
અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવું: અંશ અને છેદને તેમના GCD દ્વારા વિભાજિત કરો.
- 24/36: GCD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા: છેદના LCM શોધો.
- 1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
શેડ્યુલિંગ સમસ્યાઓ: "બે બસ એક જ સમયે ઉપડે છે. એક દર 12 મિનિટે ચાલે છે, બીજી દર 18 મિનિટે. તેઓ ફરી ક્યારે એકસાથે ઉપડે છે?"
- LCM(12, 18) = 36 → દર 36 મિનિટે
કટિંગ સામગ્રી: "એક બોર્ડ 36 સે.મી.નું છે, બીજું 48 સે.મી.નું છે. તમે બંનેમાંથી કચરો નાખ્યા વિના સૌથી લાંબો સમાન-લંબાઈનો ટુકડો કયો છે?"
- GCD(36, 48) = 12 સેમી
ઝડપી માનસિક તપાસ
GCD હંમેશા ≤ નાની સંખ્યા હોય છે LCM હંમેશા ≥ મોટી સંખ્યા હોય છે જો GCD(a,b) = 1, સંખ્યાઓ કોપ્રાઈમ છે — LCM(a,b) = a × b
ઉદાહરણ: GCD(7, 13) = 1 (બંને પ્રાઇમ, સામાન્ય પરિબળો નથી) → LCM = 7 × 13 = 91