GCD ಮತ್ತು LCM ಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅಡಿಪಾಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು
GCD (ಗ್ರೇಟ್ಸ್ಟ್ ಕಾಮನ್ ಡಿವೈಸರ್) — GCF (ಗ್ರೇಟ್ಸ್ಟ್ ಕಾಮನ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್) ಅಥವಾ HCF (ಅತ್ಯಧಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ - ಇದು ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ವಿಭಜಿಸುವ ದೊಡ್ಡ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.
LCM (ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ) ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
ಈ ಸಂಬಂಧ ಎಂದರೆ ನೀವು ಒಂದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
ವಿಧಾನ 1: ಪ್ರಧಾನ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್
ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ: ತಿಳುವಳಿಕೆ, ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬಹು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
GCD ಗಾಗಿ ಹಂತಗಳು:
- ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ
- ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
- ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ
** LCM ಗಾಗಿ ಹಂತಗಳು:**
- ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ
- ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಅಧಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ
ಉದಾಹರಣೆ: 36 ಮತ್ತು 48 ರ GCD ಮತ್ತು LCM
ಪ್ರಧಾನ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
GCD: ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು 2 ಮತ್ತು 3. ಕಡಿಮೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:
- GCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು. ಉನ್ನತ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✓
ವಿಧಾನ 2: ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (GCD)
ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ: ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ.
ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟ: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b), ಶೇಷವು 0 ಆಗುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
ಉದಾಹರಣೆ: GCD(252, 105)
| ಹೆಜ್ಜೆ | ಎ | ಬಿ | ಆರ್ = ಎ ಮಾಡ್ ಬಿ |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
GCD = 21 (ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಳಿದ)
ಉದಾಹರಣೆ: GCD(1071, 462)
| ಹೆಜ್ಜೆ | ಎ | ಬಿ | ಆರ್ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
GCD = 21
ವಿಧಾನ 3: ವಿಭಾಗ/ಏಣಿಯ ವಿಧಾನ
ಅತ್ಯುತ್ತಮ: ದೃಶ್ಯ ಕಲಿಯುವವರಿಗೆ, GCD ಮತ್ತು LCM ಎರಡನ್ನೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶದಿಂದ ಪದೇ ಪದೇ ಭಾಗಿಸಿ:
ಉದಾಹರಣೆ: 12 ಮತ್ತು 18 ರ GCD ಮತ್ತು LCM
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
GCD = ಬಳಸಿದ ವಿಭಾಜಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ = 2 × 3 = 6 LCM = ವಿಭಾಜಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ × ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ LCM
ಉದಾಹರಣೆ: LCM(4, 6, 10)
ಪ್ರಧಾನ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ: 2² × 3 × 5 = 60
ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓
ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು
** ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು:** ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅವುಗಳ GCD ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
- 24/36: GCD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
** ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು:** ಛೇದಗಳ LCM ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
- 1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
** ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು:** "ಎರಡು ಬಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೊರಡುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಪ್ರತಿ 12 ನಿಮಿಷಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರತಿ 18 ನಿಮಿಷಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ಮತ್ತೆ ಯಾವಾಗ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹೊರಡುತ್ತವೆ?"
- LCM(12, 18) = 36 → ಪ್ರತಿ 36 ನಿಮಿಷಗಳು
ಕಟಿಂಗ್ ಮೆಟೀರಿಯಲ್ಸ್: "ಒಂದು ಬೋರ್ಡ್ 36 ಸೆಂ, ಇನ್ನೊಂದು 48 ಸೆಂ. ಎರಡರಿಂದಲೂ ನೀವು ತ್ಯಾಜ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಕತ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಉದ್ದವಾದ ಸಮಾನ-ಉದ್ದದ ತುಂಡು ಯಾವುದು?"
- GCD(36, 48) = 12 cm
ತ್ವರಿತ ಮಾನಸಿಕ ತಪಾಸಣೆ
GCD ಯಾವಾಗಲೂ ≤ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ LCM ಯಾವಾಗಲೂ ≥ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ GCD(a,b) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು coprime ಆಗಿರುತ್ತವೆ - LCM(a,b) = a × b
ಉದಾಹರಣೆ: GCD(7, 13) = 1 (ಎರಡೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲ) → LCM = 7 × 13 = 91