GCD आणि LCM या मूलभूत संख्या सिद्धांत संकल्पना आहेत ज्या अपूर्णांक सुलभ करण्यासाठी, समीकरणे सोडवण्यासाठी आणि शेड्यूलिंग समस्यांमध्ये वापरल्या जातात. येथे प्रत्येक पद्धत स्पष्टपणे स्पष्ट केली आहे.
व्याख्या
GCD (सर्वोत्तम सामाईक भाजक) — ज्याला GCF (सर्वोत्तम सामान्य घटक) किंवा HCF (सर्वोच्च सामाईक घटक) देखील म्हणतात — हा सर्वात मोठा धन पूर्णांक आहे जो दोन्ही संख्यांना उर्वरित भागाशिवाय विभाजित करतो.
LCM (Least Common Multiple) हा सर्वात लहान धन पूर्णांक आहे जो दोन्ही संख्यांनी भाग जातो.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
या संबंधाचा अर्थ असा आहे की एकदा तुम्हाला एक सापडला की, तुम्ही दुसऱ्याची गणना करू शकता:
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
पद्धत 1: प्राइम फॅक्टरायझेशन
सर्वोत्तम: समजून घेणे, लहान संख्या, एकाच वेळी अनेक संख्या.
GCD साठी पायऱ्या:
- प्रत्येक संख्येचा प्राइम फॅक्टराइज करा
- सामान्य अविभाज्य घटक शोधा
- सामान्य घटकांच्या कमी शक्ती गुणाकार करा
एलसीएमसाठी पायऱ्या:
- प्रत्येक संख्येचा प्राइम फॅक्टराइज करा
- सर्व प्रमुख घटकांच्या सर्वोच्च शक्तींचा गुणाकार करा
उदाहरण: ३६ आणि ४८ चे GCD आणि LCM
प्राइम फॅक्टराइज:
- 36 = 2² × 3²
- ४८ = २⁴ × ३
GCD: सामान्य घटक 2 आणि 3 आहेत. सर्वात कमी शक्ती घ्या:
- GCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: सर्व घटक. सर्वोच्च शक्ती घ्या:
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
सत्यापित करा: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✓
पद्धत 2: युक्लिडियन अल्गोरिदम (GCD)
साठी सर्वोत्कृष्ट: मोठ्या संख्या — गुणांकनापेक्षा खूप वेगवान.
मुख्य अंतर्दृष्टी: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b), उर्वरित 0 होईपर्यंत पुनरावृत्ती.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
उदाहरण: GCD(२५२, १०५)
| पायरी | a | b | r = a mod b |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
GCD = 21 (शेवटची शून्य नसलेली उर्वरित)
उदाहरण: GCD(१०७१, ४६२)
| पायरी | a | b | आर |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
GCD = २१
पद्धत 3: विभागणी/शिडी पद्धत
सर्वोत्तम: व्हिज्युअल शिकणारे, एकाच वेळी GCD आणि LCM दोन्ही शोधणे.
दोन्ही संख्यांना त्यांच्या सर्वात लहान सामान्य अविभाज्य घटकाने वारंवार विभाजित करा:
उदाहरण: 12 आणि 18 चे GCD आणि LCM
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
GCD = वापरलेल्या विभाजकांचे उत्पादन = 2 × 3 = 6 LCM = विभाजकांचे गुणाकार × उर्वरित संख्या = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
दोनपेक्षा जास्त संख्यांसाठी LCM
उदाहरण: LCM(4, 6, 10)
प्राइम फॅक्टराइज:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
प्रत्येक प्राइमची सर्वोच्च शक्ती घ्या: 2² × 3 × 5 = 60
सत्यापित करा: 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓
वास्तविक-जागतिक अनुप्रयोग
अपूर्णांक सरलीकृत करणे: अंश आणि भाजक यांना त्यांच्या GCD द्वारे विभाजित करा.
- 24/36: GCD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडणे: भाजकांचे LCM शोधा.
- 1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
शेड्युलिंग समस्या: "दोन बस एकाच वेळी सुटतात. एक दर 12 मिनिटांनी धावते, दुसरी दर 18 मिनिटांनी. त्या पुन्हा एकत्र कधी निघतात?"
- LCM(12, 18) = 36 → दर ३६ मिनिटांनी
कटिंग मटेरियल: "एक बोर्ड 36 सेमी आहे, दुसरा 48 सेमी आहे. दोन्हीपैकी सर्वात लांब समान-लांबीचा तुकडा कोणता आहे जो कचरा न टाकता कापता येईल?"
- GCD(36, 48) = 12 सेमी
त्वरित मानसिक तपासणी
GCD ही नेहमी ≤ लहान संख्या असते LCM नेहमी ≥ मोठी संख्या असते जर GCD(a,b) = 1, संख्या coprime — LCM(a,b) = a × b
उदाहरण: GCD(7, 13) = 1 (दोन्ही अविभाज्य, सामान्य घटक नाहीत) → LCM = 7 × 13 = 91