GCD a LCM sú základné koncepty teórie čísel používané pri zjednodušovaní zlomkov, riešení rovníc a plánovaní problémov. Tu sú všetky metódy jasne vysvetlené.
Definície
GCD (najväčší spoločný deliteľ) – tiež nazývaný GCF (najväčší spoločný faktor) alebo HCF (najvyšší spoločný faktor) – je najväčšie kladné celé číslo, ktoré delí obe čísla bezo zvyšku.
LCM (Least Common Multiple) je najmenšie kladné celé číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
Tento vzťah znamená, že keď nájdete jednu, môžete vypočítať druhú:
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
Metóda 1: Primárna faktorizácia
Najlepšie na: Porozumenie, menšie čísla, viacero čísel naraz.
Kroky pre GCD:
- Rozlož každé číslo na základ
- Nájdite spoločné prvotné faktory
- Vynásobte najnižšie mocniny spoločných faktorov
Kroky pre LCM:
- Rozlož každé číslo na základ
- Vynásobte najvyššie mocniny všetkých prvočísel
Príklad: GCD a LCM 36 a 48
Prvotný faktorizácia:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
GCD: Bežné faktory sú 2 a 3. Vezmite najnižšie mocniny:
- GCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: Všetky faktory. Vezmite najvyššie právomoci:
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
Overiť: 36 × 48 = 1 728 = 12 × 144 ✓
Metóda 2: Euklidovský algoritmus (GCD)
Najlepšie pre: Väčšie čísla – oveľa rýchlejšie ako faktorizácia.
Kľúčový poznatok: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b), opakuje sa, kým zvyšok nie je 0.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
Príklad: GCD(252, 105)
| Krok | a | b | r = mod b |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
GCD = 21 (posledný nenulový zvyšok)
Príklad: GCD(1071, 462)
| Krok | a | b | r |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
GCD = 21
Metóda 3: Deliaca/rebríková metóda
Najlepšie pre: Vizuálnych študentov, ktorí súčasne nachádzajú GCD aj LCM.
Vydeľte obe čísla ich najmenším spoločným prvočíslom opakovane:
Príklad: GCD a LCM 12 a 18
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
GCD = súčin použitých deliteľov = 2 × 3 = 6 LCM = súčin deliteľov × zostávajúce čísla = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
LCM pre viac ako dve čísla
Príklad: LCM(4; 6; 10)
Prvotný faktorizácia:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
Vezmite najvyšší výkon každého prvočísla: 2² × 3 × 5 = 60
Overenie: 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓
Aplikácie v reálnom svete
Zjednodušenie zlomkov: Rozdeľte čitateľa a menovateľa ich GCD.
- 24/36: GCD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi: Nájdite LCM menovateľov.
- 1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
Problémy s plánovaním: "Dva autobusy odchádzajú v rovnakom čase. Jeden premáva každých 12 minút, druhý každých 18 minút. Kedy opäť odchádzajú spolu?"
- LCM(12, 18) = 36 → každých 36 minút
Rezné materiály: "Doska má 36 cm, ďalšia 48 cm. Aký najdlhší kus rovnakej dĺžky môžete odrezať z oboch bez odpadu?"
- GCD(36, 48) = 12 cm
Rýchle duševné kontroly
GCD je vždy ≤ menšie číslo LCM je vždy ≥ väčšie číslo Ak GCD(a,b) = 1, čísla sú rovnaké – LCM(a,b) = a × b
Príklad: GCD(7, 13) = 1 (obe hlavné, žiadne spoločné faktory) → LCM = 7 × 13 = 91