GCD اور LCM کا حساب کیسے لگائیں: طریقے اور مثالیں۔

GCD اور LCM فاؤنڈیشنل نمبر تھیوری کے تصورات ہیں جو فریکشن کو آسان بنانے، مساوات کو حل کرنے اور نظام الاوقات کے مسائل میں استعمال ہوتے ہیں۔ یہاں ہر طریقہ واضح طور پر بیان کیا گیا ہے۔

تعریفیں

GCD (سب سے بڑا مشترکہ تقسیم) — جسے GCF (عظیم ترین عام فیکٹر) یا HCF (سب سے زیادہ عام فیکٹر) بھی کہا جاتا ہے — سب سے بڑا مثبت عدد ہے جو بغیر کسی باقی کے دونوں نمبروں کو تقسیم کرتا ہے۔

LCM (Least Common Multiple) سب سے چھوٹا مثبت عدد ہے جو دونوں نمبروں سے قابل تقسیم ہے۔

GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b

اس تعلق کا مطلب ہے کہ ایک بار جب آپ کو ایک مل جائے تو آپ دوسرے کا حساب لگا سکتے ہیں:

LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)

طریقہ 1: پرائم فیکٹرائزیشن

بہترین برائے: تفہیم، چھوٹے نمبر، ایک ساتھ متعدد نمبر۔

جی سی ڈی کے لیے اقدامات:

ہر نمبر کو پرائم فیکٹرائز کریں۔
عام بنیادی عوامل تلاش کریں۔
عام عوامل کی کم ترین طاقتوں کو ضرب دیں۔

ایل سی ایم کے لیے اقدامات:

ہر نمبر کو پرائم فیکٹرائز کریں۔
تمام بنیادی عوامل کی اعلیٰ ترین طاقتوں کو ضرب دیں۔

مثال: 36 اور 48 کا GCD اور LCM

بنیادی فیکٹرائز:

36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3

GCD: عام عوامل 2 اور 3 ہیں۔ کم ترین طاقتیں لیں:

GCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

LCM: تمام عوامل۔ اعلیٰ ترین اختیارات حاصل کریں:

LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

تصدیق کریں: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✓

طریقہ 2: یوکلیڈین الگورتھم (GCD)

اس کے لیے بہترین: بڑی تعداد — فیکٹرائزیشن سے کہیں زیادہ تیز۔

کلیدی بصیرت: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)، اس وقت تک دہرانا جب تک کہ بقیہ 0 نہ ہو۔

GCD(a, b):
  while b ≠ 0:
    r = a mod b
    a = b
    b = r
  return a

مثال: GCD(252, 105)

قدم	a	ب	r = a mod b
1	252	105	42
2	105	42	21
3	42	21	0

GCD = 21 (آخری غیر صفر باقی)

مثال: GCD(1071, 462)

قدم	a	ب	r
1	1071	462	147
2	462	147	21
3	147	21	0

GCD = 21

طریقہ 3: تقسیم/سیڑھی کا طریقہ

بہترین برائے: بصری سیکھنے والے، بیک وقت GCD اور LCM دونوں کو تلاش کرنا۔

دونوں نمبروں کو ان کے سب سے چھوٹے مشترکہ بنیادی عنصر سے بار بار تقسیم کریں:

مثال: 12 اور 18 کا GCD اور LCM

2 | 12   18
3 |  6    9
  |  2    3

GCD = استعمال شدہ تقسیم کاروں کی پیداوار = 2 × 3 = 6 LCM = تقسیم کرنے والوں کی پیداوار × باقی نمبر = 2 × 3 × 2 × 3 = 36

دو سے زیادہ نمبروں کے لیے LCM

مثال: LCM(4, 6, 10)

بنیادی فیکٹرائز:

4 = 2²
6 = 2 × 3
10 = 2 × 5

ہر پرائم کی سب سے زیادہ طاقت لیں: 2² × 3 × 5 = 60

تصدیق کریں: 60 ÷ 4 = 15 ✓، 60 ÷ 6 = 10 ✓، 60 ÷ 10 = 6 ✓

حقیقی دنیا کی ایپلی کیشنز

فرکشن کو آسان بنانا: عدد اور ڈینومینیٹر کو ان کے GCD سے تقسیم کریں۔

24/36: GCD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3

مختلف ڈینومینیٹرس کے ساتھ فریکشنز کا اضافہ: ڈینومینیٹرس کا LCM تلاش کریں۔

1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12

شیڈیولنگ کے مسائل: "ایک ہی وقت میں دو بسیں روانہ ہوتی ہیں۔ ایک ہر 12 منٹ پر چلتی ہے، دوسری ہر 18 منٹ پر۔ وہ دوبارہ کب ایک ساتھ روانہ ہوتی ہیں؟"

LCM(12, 18) = 36 → ہر 36 منٹ

کٹنگ کا سامان: "ایک بورڈ 36 سینٹی میٹر کا ہے، دوسرا 48 سینٹی میٹر کا۔ سب سے لمبا مساوی ٹکڑا کون سا ہے جسے آپ بغیر کسی فضلے کے دونوں سے کاٹ سکتے ہیں؟"

GCD(36, 48) = 12 سینٹی میٹر

فوری ذہنی معائنہ

GCD ہمیشہ ≤ چھوٹا نمبر ہوتا ہے LCM ہمیشہ ≥ بڑی تعداد ہوتی ہے اگر GCD(a,b) = 1، نمبرز coprime ہیں — LCM(a,b) = a × b

مثال: GCD(7, 13) = 1 (دونوں بنیادی، کوئی عام فیکٹر نہیں) → LCM = 7 × 13 = 91