Miduara inaonekana kila mahali - magurudumu, mabomba, vyumba vya mviringo, pizza, sayari. Vipimo viwili vinafafanua kila mduara kabisa: mduara (umbali karibu na makali) na eneo (nafasi ndani). Zote mbili hufuata moja kwa moja kutoka kwa thamani moja: radius.

Masharti muhimu

Radi (r): Umbali kutoka katikati ya duara hadi sehemu yoyote kwenye ukingo wake. Hiki ndicho kipimo cha kimsingi - fomula zote za miduara huitumia.

Kipenyo (d): Umbali kuvuka mduara kupitia katikati. Daima hasa mara mbili ya radius: d = 2r.

Mzingo (C): Mzunguko wa duara — jumla ya umbali kuzunguka ukingo wa nje.

Eneo (A): Kiasi cha nafasi ya pande mbili iliyofungwa na duara.

π (pi): Uwiano wa mduara wowote wa duara kwa kipenyo chake. Haina akili (haina mwisho, hairudii tena) na takriban sawa na 3.14159265...

Mfumo wa Mduara

C = 2πr    or equivalently    C = πd

Mfano: Mduara wenye kipenyo cha sentimita 5

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm

Kwa upande wa kipenyo: Ikipewa kipenyo moja kwa moja:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 cm

Zote mbili hutoa jibu sawa - chagua kipimo chochote ulicho nacho.

Mfumo wa Eneo

A = πr²

Mfano: Mduara sawa na kipenyo cha sentimita 5

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²

Kumbuka: eneo daima liko katika vizio vya mraba (cm², m², in²). Mzunguko uko katika vitengo vya mstari (cm, m, ndani).

Kufanya kazi Nyuma kutoka kwa Mzingo au Eneo

Wakati mwingine unajua mduara au eneo na unahitaji kupata radius.

Radi kutoka kwa mduara:

r = C / (2π)

Radi kutoka eneo:

r = √(A / π)

Kipenyo kutoka kwa mduara:

d = C / π

Mfano: Sehemu ya duara ina mduara wa 150 m. Eneo lake ni lipi?

Hatua ya 1: Tafuta radius

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 m

Hatua ya 2: Tafuta eneo

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 m²

Mifano ya Kazi ya Kawaida

Sehemu ya bomba la mviringo

Bomba ina kipenyo cha ndani 40 mm. Je! ni eneo gani la msalaba?

r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 mm²

Hii ni muhimu kwa hesabu za kiwango cha mtiririko - eneo huamua ni kiasi gani cha maji kinaweza kupita.

Wimbo unaoendeshwa

Wimbo wa kukimbia wa mviringo una radius 40 m. Mzunguko mmoja uko umbali gani?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 m

(Nyimbo za kawaida za mita 400 kwa kweli ni mviringo, sio mviringo - lakini hii inaonyesha kanuni.)

Ulinganisho wa ukubwa wa pizza

Je, pizza ya inchi 14 ina thamani ya zaidi ya pizza mbili za inchi 10?

Pizza ya inchi 14:

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 in²

Pizza mbili za inchi 10:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 in²

Pizza mbili za inchi 10 hutoa pizza zaidi kidogo - lakini ikiwa tu bei inaweza kulinganishwa.

Sekta na Tao

Sekta ni "kipande" cha duara (kama kipande cha pai), kinachofafanuliwa kwa pembe ya kati θ.

Urefu wa tao (makali yaliyopinda ya sekta):

Arc = (θ / 360) × 2πr    [degrees]
Arc = θr                   [radians]

Eneo la sekta:

Sector area = (θ / 360) × πr²    [degrees]
Sector area = ½r²θ               [radians]

Mfano: Sekta yenye kipenyo cha sentimita 8 na pembe ya kati 45°

Arc length = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 cm
Sector area = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 cm²

Annulus (Umbo la Pete)

Annulus ni eneo kati ya miduara miwili iliyokolea yenye radii R (nje) na r (ndani).

Annulus area = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

Mfano: Mpaka wa mviringo wenye radius ya nje 10 m na kipenyo cha ndani 7 m:

Area = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 m²

Muhtasari wa Mifumo

Kipimo Mfumo
Mduara C = 2πr = πd
Eneo A = πr²
Radius kutoka C r = C / (2π)
Radi kutoka kwa A r = √(A/π)
Urefu wa safu (digrii) Safu = (θ/360) × 2πr
Eneo la sekta (digrii) A = (θ/360) × πr²
Eneo la Annulus A = π (R² − r²)

Tumia Kikokotoo cha Mduara kukokotoa kipimo chochote cha mduara — weka thamani yoyote moja na upate nyingine zote papo hapo.