Mlinganyo wa ujazo ni polimani wa shahada ya 3, yenye fomula ya jumla ax³ + bx² + cx + d = 0. Tofauti na milinganyo ya quadratic, milinganyo ya ujazo inaweza kuwa na masuluhisho 1, 2, au 3 halisi na hayana fomula rahisi ya mfumo funge ambayo watu wengi hujifunza shuleni. Walakini, zinaweza kutatuliwa kwa kutumia formula ya Cardano au njia za nambari.

Fomu ya Jumla

ax³ + bx² + cx + d = 0

Ambapo ** a ≠ 0 ** (vinginevyo sio ujazo). Equation inaweza kuwa na:

  • Mizizi 3 tofauti halisi
  • Mzizi 1 halisi na mizizi 2 changamani ya kuunganisha
  • Mzizi unaorudiwa (wakati ubaguzi ni sawa na sifuri)

Mfumo wa Cardano

Ili kutumia fomula ya Cardano, kwanza punguza ujazo (ondoa neno la x²) kwa kubadilisha x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Kisha mizizi hupatikana kwa kutumia fomula tata inayohusisha kibaguzi:

Δ = -4p³ - 27q²

Ikiwa Δ > 0: mizizi halisi tatu tofauti Ikiwa Δ = 0: angalau mizizi miwili sawa Ikiwa Δ <0: mzizi mmoja halisi na mizizi miwili changamano ya kuunganisha

Mfano Kazi

Tatua x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Kwa ukaguzi au majaribio, tunaweza kujaribu nambari kamili ndogo. Jaribio x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Kwa hivyo x = 1 ni mzizi. Kupunguza (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Mizizi mitatu ni x = 1, 2, 3.

Kupata Mizizi Bila Kuzingatia

Kwa hesabu za ujazo ambazo hazizingatii vizuri, tumia:

  1. Fomula ya Cardano (kwa usahihi wa aljebra lakini ngumu)
  2. Njia za nambari kama Newton-Raphson (ya kurudia, hupata mzizi mmoja kwa wakati mmoja)
  3. Kuchora ili kukadiria mizizi na kuboresha kwa Newton-Raphson

Maombi

Milinganyo ya ujazo inaonekana katika:

  • Uhandisi (uchambuzi wa dhiki, mienendo ya maji)
  • Fizikia (mwendo wa mradi katika kati ya upinzani, vifaa vya ujazo)
  • Uchumi (shida za uboreshaji, viwango vya gharama za uzalishaji)
  • Picha za kompyuta (mikondo ya ujazo ya Bézier)

#Vidokezo

Ikiwa unashuku mizizi ya busara, tumia Nadharia ya Rational Root: mzizi wowote wa kimantiki p/q una p kugawanya d na q kugawanya a. Hii inapunguza watahiniwa wako wa majaribio kwa kiasi kikubwa. Daima thibitisha mizizi kwa kubadilisha.

Tumia Cubic Equation Solver kupata mizizi yote papo hapo, iwe halisi au changamano.